Уравнения движения твердого тела можно записать в виде\[ \frac{\mathrm d \vec{P}}{\mathrm dt}=\vec{F}, \tag{1}\]\[ \frac{\mathrm d \vec{L}}{\mathrm dt}=\vec{M} . \tag{2} \]Здесь $(1)$ выражает закон движения центра масс тела, а $(2)$ — уравнение моментов. Поскольку твердое тело имеет только шесть степеней свободы, этих двух векторных уравнений достаточно для полного описания состояния его движения.
Если сила $\vec{F}$ не зависит от угловой скорости, а момент $\vec{M}$ — от скорости поступательного движения, то уравнения $(1)$ и $(2)$ можно рассматривать независимо друг от друга. В баллистике, например при движении снаряда в воздухе, это невозможно. В случае же, когда такое раздельное рассмотрение возможно, уравнение $(1)$ соответствует просто задаче о движении материальной точки, а уравнение $(2)$ — задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. В данной работе рассматривается последняя из этих задач.
Момент импульса твердого тела в его главных осях $x$, $y$, $z$ равен\begin{equation*} \vec{L}=\vec{i} I_{x} \omega_{x}+\vec{j} I_{y} \omega_{y}+\vec{k} I_{z} \omega_{z} \tag{3} \end{equation*}где $I_{x}$, $I_{y}$, $I_{z}$ — главные моменты инерции, $\omega_{x}$, $\omega_{y}$, $\omega_{z}$ — компоненты вектора угловой скорости $\vec{\omega}$. Быстро вращающееся тело, для которого, например,$$ I_{z} \omega_{z} \gg I_{x} \omega_{x}, \quad I_{y} \omega_{y}, $$принято называть гироскопом. Гироскоп называется уравновешенным, если его центр масс неподвижен.
В силу (2) приращение момента импульса определяется интегралом\begin{equation*} \Delta \vec{L}=\int \vec{M}\,\mathrm d t .\tag{4} \end{equation*}Если момент внешних сил действует в течение короткого промежутка времени, из интеграла $(4)$ следует, что приращение $\Delta \vec{L}$ момента импульса значительно меньше самого момента импульса:$$ |\Delta \vec{L}| \ll|\vec{L}| . $$С этим связана замечательная устойчивость, которую приобретает движение гироскопа после приведения его в быстрое вращение.
Выясним, какие силы надо приложить к гироскопу, чтобы изменить направление его оси. Рассмотрим для примера маховик, вращающийся вокруг оси $z$, перпендикулярной к плоскости маховика (рис. 1). Будем считать, что$$ \omega_{z}=\omega_{0}, \quad \omega_{x}=0, \quad \omega_{y}=0. $$
Пусть ось вращения повернулась в плоскости $z x$ по направлению к оси $x$ на бесконечно малый угол $\mathrm d \varphi$. Такой поворот означает добавочное вращение маховика вокруг оси $y$, так что$$ \mathrm d \varphi=\Omega \,\mathrm d t, $$где $\Omega$ — угловая скорость такого вращения. Будем предполагать, что\begin{equation*} L_{\Omega} \ll L_{\omega_{0}}. \tag{5} \end{equation*}Это означает, что момент импульса маховика, равный $I_{z} \omega_{0}$ до приложения внешних сил, только повернется в плоскости $z x$ по направлению к оси $x$ не изменяя своей величины. Таким образом,$$ |\mathrm d \vec{L}|=L \,\mathrm d \varphi=L \Omega\,\mathrm d t. $$Но это изменение направлено вдоль оси $x$, поэтому вектор $d \vec{L}$ можно представить в виде векторного произведения вектора угловой скорости $\vec{\Omega}$, направленного вдоль оси $y$, на вектор собственного момента импульса маховика, направленного вдоль оси $z$,$$ \mathrm d \vec{L}=\vec{\Omega} \times \vec{L}\,\mathrm d t. $$т.е.\begin{equation*} \frac{\mathrm d \vec{L}}{\mathrm d t}=\vec{\Omega} \times \vec{L} .\tag{6} \end{equation*}Полученное уравнение имеет простой смысл: вектор $\vec{L}$ (а значит и ось гироскопа) вращается с постоянной угловой скоростью $\vec{\Omega}$ и неизменен по модулю (действительно, если некий радиус-вектор $\vec{r}$ вращается с угловой скоростью $\vec{\omega}$, то скорость его конца, согласно определению вектора $\vec{\omega}$, равна $\dot{\vec{r}}=\vec{\omega} \times \vec{r}$).
Окончательно, в силу $(2)$ имеем\begin{equation*} \vec{M}=\vec{\Omega} \times \vec{L}. \tag{7} \end{equation*}Формула $(7)$ справедлива, если выполнено условие $(5)$. Она позволяет определить момент сил $\vec{M}$, который необходимо приложить к маховику для того, чтобы вызвать вращение оси маховика с угловой скоростью $\vec{\Omega}$. Мы видим, таким образом, что для поворота оси вращающегося маховика к оси $x$ необходимо приложить силы, направленные не вдоль оси $x$, а вдоль оси $y$, так чтобы их момент $\vec{M}$ был направлен вдоль оси $x$.
Под действием момента $\vec{M}$ внешних сил ось гироскопа медленно вращается вокруг оси $y$ с угловой скоростью $\Omega$. Такое движение называется регулярной прецессией гироскопа. В частности, создающей момент внешней силой может оказаться сила тяжести, если центр масс гироскопа не совпадает с точкой подвеса. Для гироскопа массой $m_{\Gamma}$, у которого ось собственного вращения наклонена на угол $\alpha$ от вертикали, скорость прецессии, происходящей вокруг вертикальной оси под действием силы тяжести, равна\begin{equation*} \Omega=\frac{M}{I_{z} \omega_{0} \sin \alpha}=\frac{m_{\Gamma} g l_{\amalg} \sin \alpha}{I_{z} \omega_{0} \sin \alpha}=\frac{m_{\Gamma} g l_{\amalg}}{I_{z} \omega_{0}}, \tag{8} \end{equation*}где $l_{\text {ц }}$ — расстояние от точки подвеса до центра масс гироскопа, т. е. скорость прецессии не зависит от угла $\alpha$.
Для изучения регулярной прецессии уравновешенного гироскопа к его оси подвешивают дополнительные грузы. Это смещает общий центр масс и создает момент сил тяжести, вызывающий прецессию. Скорость прецессии в этом случае равна\begin{equation*} \Omega=\frac{m g l}{I_{z} \omega_{0}}, \tag{9} \end{equation*}где $m$ — масса груза, $l$ — расстояние от центра карданова подвеса до точки крепления груза на оси гироскопа (рис. 3).
В данной работе исследуется регулярная прецессия уравновешенного гироскопа.
Уравновешенный гироскоп, закрепленный в кольцах карданова подвеса, показан на рис. 2. Наружное кольцо подвеса А может свободно поворачиваться вокруг вертикальной оси $a a$. Внутреннее кольцо Б связано с кольцом А горизонтальной осью $бб$. В кольце Б укреплен гироскоп, ось вращения которого $вв$ перпендикулярна к оси $бб$. Центр масс гироскопа находится на пересечении всех трех осей и при любом повороте колец сохраняет свое положение в пространстве. Получается, что гироскоп как бы подвешен за центр масс.
Экспериментальная установка для исследования прецессии уравновешенного гироскопа показана на рис. 3. Ротором гироскопа является ротор высокооборотного электромотора М. Кожух мотора (статор) скреплен с кольцом Б (рис. 2 и 3). Мотор с кольцом Б может вращаться в кольце А вокруг горизонтальной оси $бб$, которое может вращаться вокруг вертикальной оси $аа$. Ротор электромотора представляет массивный стальной цилиндр с прожилками меди, образующими «беличье колесо». Обозначенный на рис. 3 буквой С рычаг направлен по оси симметрии ротора. На рычаг подвешивают грузы 5
. Подвешивая различные грузы, можно менять силу $F$, момент которой определяется расстоянием $l$ от точки подвеса до горизонтальной оси кольца А (до центра масс гироскопа), указанным на самой установке.
Выше при выводе формул для прецессии предполагалось, что действующие на гироскоп силы лежат в плоскости $z y$, в которой лежат векторы угловых скоростей собственного вращения и прецессии. В этом случае, как уже говорилось, момент сил меняет лишь направление момента импульса гироскопа, но не его величину. Силы трения не лежат в плоскости осей вращения. Они приводят к изменению момента импульса и по направлению, и по величине. Для ротора гироскопа действие сил трения скомпенсировано действием электромотора. Для осей карданова подвеса компенсации нет. В результате ось гироскопа будет опускаться в направлении действия груза. Читателю предлагается проанализировать роль сил трения и оценить погрешности, которые возникнут при определении скорости вращения гироскопа относительно его оси симметрии $\omega_{0}$, связанные с постепенным опусканием оси гироскопа.
В первой части работы исследуется зависимость скорости прецессии гироскопа от момента силы, приложенной к его оси. Измерение скорости прецессии гироскопа позволяет вычислить угловую скорость вращения его ротора.
Момент инерции ротора относительно оси симметрии $I_{0}$ можно измерить по крутильным колебаниям точной копии ротора, подвешиваемой вдоль оси симметрии на жесткой проволоке.
Поскольку модуль кручения проволоки неизвестен, можно определить момент инерции, подвесив к проволоке вместо ротора цилиндр с легко измеримыми размерами и массой.
Скорость вращения гироскопа можно определить и без измерения прецессии. У используемых в работе гироскопов статор имеет две обмотки: одна обмотка используется для раскрутки гироскопа, а вторая — для измерения числа оборотов ротора. Вращаясь, ротор наводит во второй обмотке переменную ЭДС, которую можно измерить с помощью осциллографа.
Для удобства измерения используется следующий метод. Подключите выход вторичного ротора гироскопа к первому каналу аналогового осциллографа, а генератор сигналов — ко второму каналу. Переключите осциллограф в режим развёртки XY. Если частоты ротора и генератора близки друг к другу, на экране будет виден медленно меняющий свою форму эллипс. При полном совпадении частот эллипс «застывает», что несложно наблюдать с хорошей точностью.
Установите ось гироскопа в горизонтальное положение, осторожно поворачивая ее за рычаг С. Включите питание гироскопа и подождите $4-5$ минут, чтобы вращение ротора успело стабилизироваться. Убедитесь в том, что ротор вращается достаточно быстро: при легком постукивании по рычагу С последний не должен изменять своего положения в пространстве.
Выключите питание ротора гироскопа. Из-за наличия трения в оси гироскоп будет замедляться. Эта часть задачи посвящена определению момента сил трения.