В последнее время для частой работы с грузами в десятки и сотни килограммов стали широко использоваться так называемые балансирные краны — новый вид подъёмного оборудования. Схематичный вид такого крана показан на рисунке. Обычно кран состоит из трансмиссии, системы связанных между собой стержней, поворотной платформы и башни. Система стерней состоит из четырёх стержней $ABD$, $DEF$, $BC$ и $CE$. $DECB$ при любом положении стрелы крана представляет собой параллелограмм. Буквой $A$ на рисунке обозначен горизонтальный вращающийся вал. Вал контролируется электродвигателем и может занимать различные позиции, двигаясь вдоль вертикальной рейки, изменяя при этом высоту крюка $F$ на конце стрелы. Стержень $ABD$ может свободно вращаться в вертикальной плоскости вокруг оси вала $A$. Буквой $C$ на рисунке обозначен шарнир, который может свободно двигаться вдоль гладкого горизонтального паза. Трением в шарнире можно пренебречь. Стержень $AD$ имеет длину $l_1$, стержень $AB$ — длину $l_2$, $DF$ и $BC$ — $l_3$ и $l_4$ соответственно.

Считайте каждый стержень невесомым и жёстким. Рассмотрите случай, когда у крана отсутствует противовес.

1 Найдите, какому соотношению должны удовлетворять длины стержней $l_1$, $l_2$, $l_3$ и $l_4$, чтобы кран находился в равновесии при всевозможных положениях крюка с поднимаемым грузом в одной горизонтальной плоскости.

Теперь будем учитывать ненулевую массу стержней. Чтобы кран снова уравновешен при всевозможных положениях крюка с поднимаемым грузом в одной горизонтальной плоскости, в точку $P$ на конце стержня $ABD$ необходимо добавить противовес. Расстояние между точками $A$ и $P$ обозначим $l_P$. Вес противовеса равен $G_P$, а веса участков стержней $AD$, $DF$, $BC$ и $CE$ – $G_1$, $G_3$, $G_4$ и $G_5$ соответственно. Весом участка $AP$ пренебрегите. Длины $l_1$, $l_2$, $l_3$, $l_4$ и $l_P$ известны, причём $l_1=l_3$ и $l_2=l_4$.

2 Найдите соответствующий вес $G_P$ противовеса.