Оборудование:

1. Трубка из оргстекла
2. Две пробки для трубки
3. Порошок 4-гидратированного хлорида марганца  \(\rm MnCl_2\)
4. Неодимовый магнит
5. Весы
6. Баночка для анализов
7. Стакан с водой
8. Стакан для слива
9. Два шприца 10 мл
10. Прищепка
11. Пластиковая ложка
12. Перчатки (M/L/S)
13. Шарики  в пробирках

Примечание: Ни в коем случае нельзя употреблять порошок в любом виде, не глотайте шарики, не подносите магнит слишком близко к весам, будьте осторожнее с магнитом, он может разбиться.

Теория

Магнитных зарядов в природе не существует, но они являются удобным инструментом в расчёте полей. Магнитный заряд $q_M$ создают такое же по форме поле как электрический заряд:
\[\vec{B} = \frac{\mu_0 q_M}{4 \pi} \frac{\vec{r}}{r^3}.\]Магнитный дипольный момент нескольких магнитных зарядов $q_{M,i}$ равен $\vec{m} = \sum \vec{r}_i q_{M,i}$

A1 Пользуясь методами известными из электростатики, выведите поле точечного магнитного диполя с дипольным моментом \(\vec{m}\).

Будем называть упругим диполем диполь, дипольный момент которого пропорционален внешнему полю: \[\vec{m} = \alpha \cdot \vec{B}.\]Величину $\alpha$ называют поляризуемостью диполя.

A2 Найдите энергию упругого диполя в магнитном поле $B$, направленном вдоль оси $z$. Ответ выразите через $\alpha$ и $B$.

A3

Пусть молекулы некоторого вещества имеют поляризуемость \(\alpha\) и концентрация этих молекул $n$ (размерность $1/м^3$). Рассмотрите поведение плоского слоя такого вещества во внешнем однородном магнитном поле и определите магнитную проницаемость вещества \(\mu_e\). Пренебрегайте влиянием частиц друг на друга , т.е. работайте в приближении $|\mu_e-1| \ll 1$.

Ответ выразите через $\alpha$, $n$ и $\mu_0$.

Теперь обсудим поведение шара, обладающего магнитными свойствами, во внешнем магнитном поле. Имейте в виду, что поведение магнитных веществ во внешних полях полностью эквивалентно поведению диэлектриков в электрических.

Шар радиуса \(R\) с магнитной проницаемостью \(\mu_s\) поместили в однородное поле \(\vec{B_0}\). Пользуясь опытом электростатики, угадаем распределение полей в пространстве:

• Внутри шара поле постоянно, сонаправлено с внешним полем и равно \(\vec{B}_\text{in}\);
• Снаружи шара поле является суперпозицией внешнего поля \(\vec{B_0}\) и поля магнитного диполя \(\vec{m} = \alpha_s \cdot \vec{B_0}\), находящегося в центре шара.
   

Когда контур, используемый в теореме о циркуляции вектора \(\vec{B}\), проходит через несколько сред и \(\mu(\vec{r})\) является функцией координат, теорему о циркуляции удобно записывать следующим образом:
\[\oint{\frac{\vec{B}(\vec{r})}{\mu(\vec{r})\mu_0}d\vec{l}} = I,\]

где $I$ - ток, пронизывающий контур. Теорема Гаусса для магнитного поля никак не меняет свой вид, когда поверхность лишь частично проходит через несколько сред.

A4

Запишите граничные условия на \(B_n(\theta)\) и \(B_{\tau}(\theta)\).

A5 Используя граничные условия, найдите \(\vec{B}_\text{in}\) и \(\alpha_s\). Ответы выразите через $\vec{B_0}$, $\mu_s$ и $R$.

От решенной нами задачи легко перейти к случаю, когда шар помещен в среду с проницаемостью \(\mu_e\). Для этого нужно просто сделать замену \( \mu_s \to \mu_s/\mu_e\) в итоговых ответах.

Материалы выданных вам шариков практически не проявляют магнитных свойств и для них будем считать, что выполняется $\mu_s=1$. Раствор $\rm MnCl_2$, который играет роль окружающей среды, является сильным парамагнетиком и за его магнитные свойства ответственны ионы марганца $\rm Mn^+$. При этом соль $\rm MnCl_2$ диссоциирует полностью, то есть молярная концентрация ионов $\rm MnCl_2$ равна молярной концентрации добавленной в сухом виде соли.

Для раствора $\rm MnCl_2$ выполняется, что
\[\mu_e(c) - 1 = \chi_e(c) = a \cdot c\] где $c$ - молярная концентрация ионов $\rm Mn^+$. Хоть раствор и является сильно парамагнитным, для него выполняется, что \( \chi_e\ \ll 1 \).

A6 Выразите \(\alpha_{s}\) для немагнитного шарика в растворе $\rm MnCl_2$ через $a$, $c$ и $R$.

A7 Найдите $W$ для шарика, находящегося на оси. Выберите константы так, что магнитная энергия на бесконечности равна нулю; энергия в поле силы тяжести равна нулю при $z=0$. Выразите ответ через \(\rho_s, \rho_e, g, R, \alpha_s, B(z)\) и $z$.

A8 Энергия, полученная в A7, оказывается пропорциональной объему шарика. Найдите удельную энергию шарика $w=W/V$. Ответ выразите его через $a$, $c$, $\mu_0$, $B(z)$ и $g$, $z$, $\rho_e$, $\rho_s$.

Ниже приведён график зависимости \(B^2(z)/(\mu_0 M)^2\) от $z$ для выданного магнита.

В эксперименте можно наблюдать разные случаи поведение шарика в растворе

A9 Определите при каких условиях на \(c\) и $\rho_s-\rho_e$ реализуются каждый из случаев. Выразите их в терминах $a$, $c$, $\mu_0$, $M$, $g$ и значений, характеризующих график зависимости $B^2(\mu_0 M)^2$ от $z$.

Эксперимент

A10 Заткните трубку с одной стороны пробкой, залейте раствор. Расположите магнит примерно по середине уровня раствора.

Изменяя концентрацию концентрацию $\rm MnCl_2$ в растворе, как можно точнее измерьте границу перехода из одного случая в другой из A9 для каждого выданного типа шариков.

Концентрацию раствора $\rm MnCl_2$ записывайте в терминах $m_e/m_w$, где $m_e$ - полная масса раствора, а $m_w$ - масса чистой воды, использованной для его приготовления.

A11 Выданный вам порошок это не чистый $\rm MnCl_2$ а 4-гидратированный $\rm MnCl_2 \cdot 4H_2O$, т.е. на каждую молекулу $\rm MnCl_2$ в порошке приходится четыре молекулы \(\rm H_2O\). При растворении этого порошка в жидкой воде он распадается на ионы $\rm Mn^{2+}$ и $\rm Cl^-$, а вода приобретает жидкую форму.

Выразите молярную концентрацию \(c\) ионов марганца $\rm Mn^{2+}$ в растворе. Для ответа используйте \(\rho_e\), $m_e/m_w$, $\mu_{\rm H_2O}$ и $\mu_{\rm MnCl_2}$

A12 По вашим данным рассчитайте значения \(\chi_e\) от \(c\) и постройте график этой зависимости.

A13 Найдите поляризуемость ионов марганца \(\alpha_{\rm Mn^{2+}}\).