Задача состоит из двух независимых частей: часть A (образование кратера) и часть B (торможение в песке), которые могут решаться в любом порядке. Список оборудования (рис. 2):
Кратеры на Марсе, диаметры $D$ которых варьируются от примерно 10 метров до нескольких сотен километров, образовались в результате падения метеоритов. Различные модели предсказывают, как диаметр кратера $D$ зависит от параметров удара: диаметра метеорита $d$ и его энергии $E$ (рис. 3).
Модель 1: $D$ зависит только от диаметра метеорита $d$
$$D = c_1 d,$$
где $c_1$ – безразмерное число, не зависящее от $E$ и $d$.
Модель 2: энергия метеорита $E$ преобразуется во время удара благодаря объемным процессам. Эта модель предсказывает, что $D$ пропорционален $E^{1/3}$
$$D = c_2 E^{1/3},$$
где $c_2$ – параметр, независящий от $E$ и $d$.
Модель 3: $E$ расходуется на выброс материала за пределы кратера. Согласно этому предположению
$$D = c_3 E^{1/4},$$
где $c_3$ – параметр, независящий от $E$ и $d$.
Мы проводим эксперименты по образованию кратеров в сантиметровом диапазоне, чтобы сравнить эти три модели. В качестве метеоритов используются стальные шарики разного диаметра $d$ и массы $m$, с плотностью $\rho_a= 7.8\cdot10^3~кг \cdot м^{-3}$ (пункт (d) списка оборудования).
Шарик 1 $d_1 = 2.0~мм$ $m_1 = 0.033~г$ Шарик 2 $d_2 = 5.0~мм$ $m_2 = 0.51~г$ Шарик 3 $d_3 = 9.0~мм$ $m_3 = 3.0~г$ Шарик 4 $d_4 = 16.0~мм$ $m_4 = 17~г$
Чаша (b), наполненная песком (c), помещается внутрь опорожненной пластиковой коробки (a), которая помогает собрать излишки песка. Чаша полностью заполняется песком, а ее поверхность тщательно выравнивается с помощью ребра линейки (о). Избегайте уплотнения песка! Чтобы высвободить шарик над чашей для его падения, можно воспользоваться штативом (f). Стержень выступает направляющей, позволяющей отпускать шарик непосредственно над чашей и измерять высоту падения $h$ (при помощи рулетки (e)).
Бросьте шарик 3 с высоты $h=50~см $ и измерьте диаметр $D$ образовавшегося кратера. Повторите эксперимент 5 раз. После каждого удара перемешайте песок ложкой (n) и тщательно выравняйте его уровень с помощью ребра линейки (o). Избегайте уплотнения песка! При необходимости используйте сито (g), чтобы найти шарик, если он затерялся в песке.
Во время падения сила сопротивления воздуха равна
$$F=\frac{1}{8} \pi d^2\rho_0 C_x v^2$$
где $v$ – скорость шара, $\rho_0 \simeq 1.2~кг\cdot м^{-3}$ – плотность воздуха, а $C_x$ – безразмерный коэффициент порядка единицы.
Сила сопротивления воздуха пренебрежимо мала, если шарик упадет с высоты, меньшей, чем максимальная высота падения $h_{\max}$. Она определяется как высота, при которой сила сопротивления воздуха составляет менее $10 \%$ от веса на протяжении всего падения.
Исследуйте связь между $D$ и $E$ экспериментально, чтобы сравнить три степенных закона, представленных во введении. Выясните, меняется ли степенной закон в диапазоне исследуемых энергий. Для этого проведите серию измерений, бросая шарики с разной высоты. Необходимо охватить широкий диапазон энергий. Шарики можно сбрасывать с высоты до $h=2~м$, чтобы достичь больших значений $E$ (соблюдая условия, полученные в A.2). Для каждого набора параметров повторите эксперимент дважды и вычислите среднее значение $D$.
Через пять лет после посадки марсоход Spirit окончательно увяз в марсианском песке. Качение по песку особенно специфично, поскольку при движении песчинок рассеивается большое количество энергии. В этой части мы изучаем торможение шарика, катящегося по песку. Шарик, находящийся в состоянии покоя, сначала разгоняется по профилю, наклоненному под углом $\theta$, а затем замедляется в песке в деревянной дорожке.
Шарик 4 выпускается без начальной скорости из произвольной точки на профиле (h), выбранной в качестве начала $x$-оси ($x=0$) (рис. 5). Пусть $x(t)$ обозначает положение шарика вдоль профиля. Момент инерции шара массой $m$ и диаметром $d$ относительно оси, проходящей через его центр, равен $J=md^2/10$. Кинетическая энергия $K$ шарика, движущегося со скоростью $v$ и вращающегося с угловой скоростью $\omega$, равна
$$K = \frac12 mv^2+\frac12 J\omega^2.$$
Мы предполагаем, что шарик катится по профилю без проскальзывания, и пренебрегаем потерями энергии.
Один конец профиля (h) опирается на край деревянной дорожки (j), в которой в этот момент нет песка. Другой конец профиля опирается на штатив (f) таким образом, что образует угол наклона $\theta=5^\circ$ с горизонталью. Убедитесь, что угол выставлен точно. Профиль закрепляется (с обеих сторон) с помощью клейкой массы (l).
С помощью секундомера (k) измерьте время $t_{50}$, за которое шарик проходит расстояние $l=50~см$ по профилю.
Измерьте $t$ с указанием порядка величины погрешности для 8 различных значений $\ell$.
Пусть $\ell$ – расстояние, пройденное шариком по профилю. На песке шарик останавливается, пройдя расстояние $L$ (рис. 6).
Шарик замедляется под действием силы сопротивления $T$, которая может иметь два возможных происхождения:
Цель состоит в том, чтобы определить, какая модель лучше всего описывает наблюдаемое поведение при торможении.
При движении в песке шарик считается точечной массой. Исходя из малости угла наклона профиля мы пренебрегаем потерями энергии в месте перехода с профиля в деревянную дорожку с песком. Установите теоретический закон, связывающий $L$ с $\ell$ в каждой из двух ситуаций (сухое трение или вязкое). Эти два предложения приводят к степенному закону вида $L\sim\ell^\alpha$, в котором степень $\alpha$ принимает два различных значения.
Положите деревянную дорожку (j) на лист бумаги. Засыпьте дорожку песком и подготовьте равномерный слой, тщательно выравняв поверхность линейкой. Избегайте уплотнения песка! Еще раз тщательно отрегулируйте угол наклона профиля $\theta=5^\circ$. Отпустите шарик 4 ($d_4 = 16.0~мм$) , чтобы он двигался по наклонному профилю так, чтобы расстояние, пройденное по профилю, составляло $l=50~см$.
Перед каждым запуском перемешивайте песок, наполняйте дорожку заново и снова выравнивайте поверхность. Очищайте профиль и шарик от песка с помощью щетки (i). В конце эксперимента используйте лист бумаги в качестве воронки, чтобы поместить излишки песка обратно в бутылку.