Эта задача посвящена изучению физики галактик, их динамики и структуры. В частности, подробно рассматривается, как измерить распределение массы в нашей Галактике, находясь внутри неё, для чего исследуется водород – её основной компонент.
В этой задаче используйте только приведённую постоянную Планка ${\hbar}$, определяемую как ${\hbar = h/2\pi}$.
Мы предполагаем, что атом водорода состоит из нерелятивистского электрона массой $m_e$, вращающегося вокруг неподвижного протона. Орбиту электрона в этой части считайте круговой.
В модели Бора считается, что момент импульса электрона $L$ квантуется, $L=n\hbar$, где $n > 0$ – натуральное число. Введём также $\alpha={e^{2}}/{4\pi\varepsilon_{0}\hbar c} \approx 7.27 \cdot 10^{−3} $.
Редкое самопроизвольное изменение спина электрона приводит к испусканию фотона атомом водорода в среднем один раз в 10 миллионов лет. Это излучение служит индикатором водорода во Вселенной и потому имеет фундаментальное значение для астрофизики. Исследуем переход, отвечающий за это излучение, в два шага.
Во-первых, рассмотрим влияние относительного движения электрона и протона на спин электрона. В системе отсчета электрона протон вращается относительно него на расстоянии $r_{1}$. Это создает магнитное поле $\vec{B}_{1}$.
Во-вторых, спиновый магнитный момент электрона приблизительно равен $\mathcal{M}_{s}=e\hbar/m_e$. Тонкая (fine, F) структура связана с разностью энергий $\Delta E_{\rm F}$ между состояниями электрона с магнитным моментом $\overrightarrow{\mathcal{M}}_{s}$ параллельным $\vec{B}_{1}$ и с $\overrightarrow{\mathcal{M}}_{s}$ антипараллельным $\vec{B}_{1}$. Аналогично, сверхтонкая структура (hyperfine, HF) связана с разностью энергий $\Delta E_{\rm HF}$, возникающей за счет взаимодействия между параллельными и антипараллельными магнитными моментами электрона и протона. Известно, что $\Delta E_{\rm HF}\simeq 3.72 m_{e} /{m_{p}} \Delta E_{\rm F}$, где $m_p$ – масса протона.
Рассмотрим сферическую галактику с центром в неподвижной точке $O$. В любой точке $P$, пусть $\rho=\rho(P)$ – объемная плотность вещества, а $\varphi=\varphi(P)$ – гравитационный потенциал (потенциальная энергия единицы массы). Обе величины $\rho$ и $\varphi$ зависят только от $r=\left| \overrightarrow{OP}\right| $. Движение массы $m$, расположенной в точке $P$, под действием поля $\varphi$ происходит в плоскости, содержащей $O$.
На рис. 1(A) изображена спиральная галактика NGC 6946 в видимом диапазоне (с телескопа $ 0.8~м$ Schulman в обсерватории Маунт-Леммон в Аризоне). Маленькие эллипсы на рис. 1(B) показывают экспериментальные значения $v_c$ для этой галактики. Центральная область ($r<1~кпс$) называется балджем (с англ. выпуклость). В этой области распределение массы примерно однородно. Красная кривая – предсказание для $v_c$, если бы система была однородной внутри балджа и кеплеровой снаружи (т.е. если бы вся масса была сосредоточена в балдже, $\varphi(r)=-\beta/r$ с $\beta>0$).
Сравнение кеплеровой модели и экспериментальных данных даёт астрономам уверенность в том, что часть массы не видима на фотографии. Поэтому они предполагают, что реальная плотность вещества галактики задаётся следующим выражением:
$$\rho_m(r)=\frac{C_{m}}{r_{m}^{2}+r^{2}}\label{rhom}$$
где $C_m > 0$ и $r_m >0$ – постоянные.
B3 1.80 Покажите, что распределение скорости $v_{c,m}(r)$, отвечающее плотности в уравнении $(1)$, можно записать в виде $v_{c,m}(r)=\sqrt{k_1-\frac{k_2\cdot\arctan({\frac{r}{r_m})}}{r}}$. Выразите $k_1$ и $k_2$ через $C_m$, $r_m$ и $G$.
Подсказки: $\displaystyle \int_{0}^{r}\frac{x^{2}}{a^{2}+x^{2}}\,\mathrm{d}x=r-a\,\arctan(r/a)$, $ \arctan(x) \simeq x-x^3/3$ при $x\ll 1$.
Упростите $v_{c,m}(r)$ в пределах $r\ll r_{m}$ и $r\gg r_{m}$.
Покажите, что при $r\gg r_{m}$ масса $M_{m}(r)$, находящаяся внутри сферы радиусом $r$ с распределением плотности, заданным уравнением $(1)$, упрощается и зависит только от $C_{m}$ и $r$.
Оцените массу галактики NGC 6946, наблюдаемую на фотографии на рис. 1(A).
Для спиральной галактики модель, заданную уравнением $(1)$, необходимо модифицировать. Рассмотрим гравитационный потенциал\[\varphi_{G}(r,z)=\varphi_{0}\ln\left(\dfrac{r}{r_{0}}\right)\exp{\left[-\left(\dfrac{z}{z_{0}}\right)^{2}\right]},\]где $z$ – расстояние до галактической плоскости (т.е. плоскости $z=0$), а $r_0$ и $z_0$ – постоянные величины.
C1 0.50 Запишите уравнение движения на $z$ для вертикального движения точечной массы $m$ в таком потенциале, считая $r$ постоянным. Покажите, что при $r < r_0$ галактическая плоскость является устойчивым положением равновесия. Запишите выражение для циклической частоты $\omega_0$ малых колебаний относительно неё.
Далее считайте $z=0$.
За пределами балджа модуль скорости $v_{c}$ не зависит от расстояния до галактического центра. Этот факт можно использовать, чтобы измерить распределение массы галактики, находясь внутри неё.
Все галактические объекты, рассматриваемые здесь для астрономических наблюдений, такие как звезды или туманности, состоят в основном из водорода. За пределами балджа они вращаются по круговым орбитам вокруг галактического центра $C$. Пусть $S$ – положение Солнца, а $E$ – положение исследуемого галактического объекта, излучающего в водородном спектре. Рассмотрим в плоскости галактики прямую $SE$, вдоль которой производится наблюдение, с единичным вектором $\widehat{u}_{v}$ (см. рис. 2).
Введём галактическую долготу ${\ell}$ – угол между $SC$ и $SE$. Солнце движется по круговой орбите радиусом $R_{\odot}= 8.00~кпс$ со скоростью $\vec{v}_{\odot}$. Галактический объект в точке $E$ движется по другой окружности радиусом $R$ со скоростью $\vec{v}_{E}$. Используя эффект Доплера для изученной ранее линии $21~см$, можно получить радиальную скорость $v_{rE/S}$ источника $E$ относительно Солнца $S$: она является проекцией $\vec v_{E}-\vec v_{\odot}$ на линию наблюдения.
С помощью радиотелескопа проводятся наблюдения в плоскости нашей Галактики в направлении долготы $\ell=30^\circ$. В используемом диапазоне частот содержится линия $21~см$, частота которой равна $f_0=1.42~ГГц$. Результаты представлены на рис. 3.
C4 0.60 В нашей Галактике $v_{\odot}= 220~км \cdot с^{-1}$. Определите значения относительной радиальной скорости (с 3 значащими цифрами) и расстояния от галактического центра (с 2 значащими цифрами) трёх источников, наблюдаемых на рис. 3. Расстояния должны быть выражены в единицах $R_\odot$, умноженных на численный коэффициент.
Плоская кривая скорости NGC 6946, показанная на рис. 1, является общим свойством спиральных галактик, как видно на рис. 4 (слева). График зависимости скорости вращения $v_{c,\infty}$ от полной массы $M_{\rm tot}$ каждой галактики демонстрирует интересную зависимость, называемую отношением Талли–Фишера, см. рис. 4 (справа).
D1 0.40 Считайте, что радиусы $R$ галактик не зависят от их масс. Покажите, что модель, задаваемая уравнением $(1)$ из части B, приводит к соотношению вида $M_{\rm tot}=\eta v_{c,\infty}^{\gamma}$. Приведите выражения для $\gamma$ и $\eta$.
Вычислите $\gamma_{TF}$ для соотношения Талли-Фишера и сравните с предыдущим.
В пределе чрезвычайно малых ускорений, порядка $a_{0}= 10^{-10}~м \cdot с^{-2}$, теория модифицированной ньютоновской динамики (англ. MOdified Newtonian Dynamics, MOND) предполагает, что второй закон Ньютона записывается в модифицированном виде:\[\vec{F}=m\cdot \mu\left(\dfrac{a}{a_{0}}\right)\cdot \vec{a},\]где $a=\left|\vec{a}\right|$ – модуль ускорения, а функция $\mu$ задаётся как $\mu(x)=\dfrac{x}{1+x}$.
D3 0.80 Рассмотрим тело массой $m$, движущееся по круговой орбите радиусом $r$ со скоростью $v_{c,\infty}$ в гравитационном поле неподвижной массы $M$.
Определите показатель степени в соотношении Талли–Фишера в пределе $a \ll a_0$ в рамках теории MOND.
Используя данные для NGC 6946 и/или соотношение Талли-Фишера, вычислите $a_0$ чтобы показать, что MOND используется корректно.