В 1765 году британский часовщик Джеймс Кокс изобрел часы, которые в качестве единственного источника энергии используют колебания величины атмосферного давления. Часы Кокса состоят из двух сосудов, содержащих ртуть. При изменении атмосферного давления ртуть перекачивается из одного сосуда в другой, и они приходят в движение. Это процесс выступает источником энергии для часов.

Эта задача посвящена анализу этого устройства. В течение всей задачи считайте, что

• Гравитационное поле Земли $\overrightarrow{g} = -\,g\,\overrightarrow{u_z}$ является однородным. Его величина $g = 9{,}8~{м\cdot с^{-2}}$, а $\vec{u_z}$ – единичный вектор.
• Все жидкости несжимаемы, и их плотность обозначается $\rho$;
• капиллярные эффекты не рассматриваются;
• изменениями атмосферного давления с высотой можно пренебречь;
• температура окружающей среды $T_\mathrm{a}$ однородна и все процессы происходят при постоянной температуре.

Рис. 1. Художественное изображение часов Кокса$^1$

Часть A. Поднятие погруженной в воду трубки

Рассмотрим сначала большую емкость с водой, которая занимает полупространство $z\leq0$. Воздух над ней находится под давлением $P_{\rm a}=P_{\rm 0}$. В воду погружена цилиндрическая вертикальная трубка длиной $H = 1~м$, площадью поперечного сечения $S = 10~см^2$ и массой $m = 0{,}5~кг$. Нижний конец трубки открыт, а верхний запаян. Обозначим координату верхнего конца трубки $h$ , а уровень воды внутри трубки $z_{\ell}$. Толщиной стенок трубки пренебрегите.

Рис. 2. Трубка в различных конфигурациях

Начнем с ситуации, когда в трубке на рис. 2 нет воздуха, а ее верх находится на уровне воды в емкости: другими словами, $h = 0$ и $z_\ell = 0$ (случай a). Затем трубку медленно поднимают, пока её низ не достигает уровня воды в емкости. Тянущую силу, действующую на трубку, обозначим $\overrightarrow{F} = F\,\overrightarrow{u_z}$.

A1  ^0.20 Для конфигурации, показанной на рис. 2 (случай b), выразите давление $P_{\rm w}$ в воде на верхнем конце трубки. Также выразите силу $\overrightarrow{F}$, необходимую для удержания трубки в этом положении. Ответы выразите через $P_0$, $\rho$, $m$, $S$, $h$, $g$ и $\vec{u}_z$.

Проводятся три эксперимента. В каждом из них трубка поднимается из начального состояния, показанного на рис. 2(a), при условиях, указанных в табл. 1.

Таблица 1. Экспериментальные условия и численные данные для каждого эксперимента ($P_{sat}$ обозначает давление насыщенного пара чистой жидкости)

В каждом случае исследуется зависимость силы $F$, которая должна быть приложена для поддержания трубки в равновесии, от высоты $h$. Внешнее давление фиксировано: $P_{\rm a} = P_0 = 1{,}000\cdot 10^3~ Па$. Возможны два типа поведения

A2  ^0.80 Для каждого эксперимента заполните таблицу в листе ответов, указав ожидаемый тип поведения и численные значения для $F_{\max}$ и $h^\star$ (при необходимости). Величины $F_{\max}$ и $h^\star$ определены на рисунках, иллюстрирующих типы поведения.

Если заменить воду жидкой ртутью (свойства которой приведены ниже), то наблюдается поведение B.

A3  ^0.30 Выразите относительную ошибку $\varepsilon$, возникающую при вычислении максимальной силы $F_{\max}$, если пренебрегать величиной $P_{\rm sat}$ по сравнению с $P_0$. Приведите численное значение $\varepsilon$.

Часть B. Двухкомпонентная барометрическая труба

Здесь и далее в качестве жидкости будет рассматриваться ртуть (плотность $\rho = 13{,}5\cdot 10^3~кг \cdot м^{-3}$ при температуре окружающей среды $T_{\rm a} = 20^{\circ}\mathrm{C}$. Считайте, что $P_{\rm sat} =0$.

Рассмотрим трубку с сосудом сверху, которую можно представить как два цилиндра разных размеров друг над другом, как показано на рис. 3.

• Нижняя часть (трубка) имеет площадь поперечного сечения $S_{\rm t}$ и высоту $H_{\rm t} = 80~см$;
• Верхняя часть (сосуд) имеет площадь поперечного сечения $S_{\rm b} > S_{\rm t}$ и высоту $H_{\rm b} = 20 см.

Двухкомпонентная труба погружается в полубесконечную емкость с жидкостью.

Рис. 3. Двухкомпонентная барометрическая труба

Как и в части А, система подготовлена таким образом, что в трубке нет воздуха. Вертикальное положение трубы описывается координатой стыка между трубкой и сосудом $h_{\rm t}$ . Уровень ртути снова обозначим $z_{\ell}$. Сила $\overrightarrow{F}$, которая должна быть приложена для поддержания трубки в равновесии в конфигурации, показанной на рис. 3, может быть записана как

$$\overrightarrow{F} = \left(m_{\rm tb}+m_{\rm add}\right)g\,\overrightarrow{u_z} \qquad (1)$$

где $m_{\rm tb}$ – полная масса двухкомпонентной трубы (когда в ней нет ртути).

B1  ^0.30 На листе ответов закрасьте область, соответствующую объему жидкой ртути, который соответствует появившемуся уравнении $(1)$ члену $m_{\rm add}$.

Масса $m_{\rm add}$ зависит от высоты $h_{\rm t}$ и от атмосферного давления $P_{\rm a}$. В следующем пункте считайте, что атмосферное давление фиксировано $P_{\rm a} = P_0 = 1.000e5~Па$. Начиная с ситуации, когда труба была полностью погружена, трубу медленно поднимают, пока её нижняя точка не окажется вровень с уровнем ртути в емкости.

B2  ^1.40

Постройте качественный график массы $m_{\rm add}$ от $h_{\rm t}$ для $h_{\rm t}\in\left[-H_{\rm b}, H_{\rm t}\right]$. На графике укажите выражения для коэффициентов наклона различных отрезков и выражения для $h_{\rm t}$ в точках излома. Ответы выразите через

Систему поднимают при $P_{\rm a} = P_0 = 10^5~Па$ до положения, когда уровень ртути находится на середине сосуда. Затем величина $h_{\rm t}$ фиксируется, и изменения массы $m_{\rm add}$ происходят из-за изменения атмосферного давления:

$$P_{\rm a}\left(t\right) = P_0 + P_1\left(t\right) \qquad (2)$$

где $P_0$ обозначает среднее значение, а $P_1$ – возмущения. Будем моделировать $P_1$ периодической треугольной функцией с амплитудой $A= 5\cdot 10^2~Па$ и периодом $\tau_1=1~неделя$.

Рис. 4. Упрощенная модель изменяющегося слагаемого $P_1(t)$

B3  ^0.30 Учитывая, что $S_{\rm t} = 5~см^2$ и $S_{\rm b} = 200~см^2$, выразите амплитуду $\Delta m_{\rm add}$ изменений массы $m_{\rm add}$ с течением времени и укажите ее численное значение. Считайте, что уровень поверхности ртути всегда остается в сосуде.

Часть C. Часы Джеймса Кокса

Реальный механизм, разработанный Коксом, сложный (рис. 5). Рассмотрим упрощенную версию, изображенную на рис. 6 и описанную ниже:

• ёмкость с цилиндрическим дном, содержащая ртуть;
• двухкомпонентная барометрическая труба, идентичная той, что была изучена в части B. Она всё ещё не содержит воздух и погружена в ртуть;
• емкость и двухкомпонентная труба подвешены на нитях. Обе нити (нерастяжимые и принебрежимо малой массы) проходят через систему идеальных блоков и прикрепляются к обеим сторонам бруска массой $M$, который может двигаться по горизонтальной поверхности;
• общий объем жидкой ртути в системе составляет $V_\ell = 5~л$.

Высота, поперечное сечение и масса каждой детали приведены в таблице 2. Положение бруска $M$ определяется координатой $x$ его центра масс. Мы рассматриваем сухое трение между горизонтальной опорой и бруском $M$. Коэффициенты трения покоя и скольжения являются одинаковыми. Величина силы сухого трения скольжения обозначается $F_{\rm s}$.

Два упора ограничивают перемещение бруска массой $M$ так, что $-X \leq x \leq X$ (с $X >0$). Будем считать, что значение $X$ гарантирует, что

• дно трубки не касается дна емкости и не выходит из ртути;
• уровень поверхности ртути $z_\ell$ всегда находится в сосуде.

Рис. 5. Настоящий хронометр Кокса$^2$ (без ртути)

Рис. 6. Изображение системы, моделирующей часы

Система находится в контакте с атмосферой, давление которой изменяется, как показано на рис. 4 (с амплитудой $A=5\cdot10^2~Па$ и периодом $\tau_1 = 1~неделя$). В начальный момент $t=0$ брусок $M$ находится в состоянии покоя в точке $x = 0$. Силы натяжения нитей по обе стороны от бруска массой $M$ одинаковы при $P_{\rm 1}\left(0\right) = 0$. Определим величину

$$\xi = \dfrac{S_{\rm b} + S_{\rm c}- S_{\rm t} }{S_{\rm b}\,S_{\rm c}} \: \dfrac{F_{\rm s}}{A} \simeq \dfrac{S_{\rm b} + S_{\rm c}}{S_{\rm b}\,S_{\rm c}}\dfrac{F_{\rm s}}{A} \qquad (3)$$

где $S_{\rm t} \ll S_{\rm b},\,S_{\rm c}$ (это условие можно использовать вплоть до конца задачи).

C1  ^1.00 При $\xi > \xi^\star$ брусок $M$ остается на месте неограничено долго. Определите величину порогового значения $\xi^\star$.

Только для следующего пункта предположим, что брусок $M$ временно зафиксирован в точке $x = X$.

C2  ^1.00 Приведите выражение для суммарной силы $\overrightarrow{T} = T\,\overrightarrow{u_x}$, действующей на брусок со стороны обеих нитей. Считайте, что $P_1 = 0$. Ответ выразите через $\rho$, $g$, $X$ и подходящие площади сечений.

В случае $\xi < \xi^\star$ при начальных условиях $x = 0$ и $P_1 = 0$, для $t \geq 0$ можно наблюдать два разных типа поведения. Чтобы различать их, введем еще один параметр.

$$\lambda = \dfrac{2\left(S_{\rm b} - S_{\rm t}\right)}{S_{\rm b}} \: \dfrac{\rho\,g\,X}{A} \simeq \dfrac{2\,\rho\,g\,X}{A} \qquad (4)$$

C3  ^2.00 В таблице в листах ответов укажите условия, выполнение которых соответствует каждому типу поведения. Условия должны быть выражены в виде неравенств на $\xi$ и/или $\lambda$. Нарисуйте качественные графики $x\left(t\right)/X$ для $t\in\left[0, \; 3\,\tau_1\right]$, которые соответствуют представленной зависимости $P_1\left(t\right)/A$. Указание координат характерных точек не требуется.

В настоящих часах Кокса энергия, поступающая от механизма, накапливается с помощью системы храповиков и используется для поднятия противовеса, как в традиционных часах. В упрощенной модели, рассматриваемой здесь, накапливаемая энергия соответствует энергии, рассеиваемой силой трения между горизонтальной поверхностью и бруском $M$. С этого момента мы предполагаем, что система работает в таком типе поведения, чтобы накапливать эту энергию. Предположим также, что режим работы установившийся. Энергию, рассеиваемую силой сухого трения за период $\tau_1$, обозначим $W$. Её можно выразить через $F_{\rm s}$ и $X$.

При прочих равных $F_{\rm s}$ и $X$ можно подобрать так, чтобы максимизировать энергию $W$. Параметры, соответствующие оптимальной ситуации, обозначим $F_{\rm s}^\star$ и $X^\star$.

C4  ^1.00 Пользуясь тем, что $S_{\rm b} \simeq S_{\rm c}$ и $S_{\rm t}\ll S_{\rm b}$, получите выражения для $F_{\rm s}^\star$ и $X^\star$. Ответы выразите через $\rho$, $g$, $S_{\rm c}$ и $A$. Выразите соответствующую максимальную энергию $W^\star$ и вычислите её при $A = 5\cdot 10^2~Па$.

В оптимальной ситуации работу сил атмосферного давления над системой за период $\tau_1$ обозначим $W_{\rm pr}^\star$ .

C5  ^1.70 Выразите $W_{\rm pr}^\star$, вычислите отношение $W^\star/W_{\rm pr}^\star$. Полезно представить эволюцию системы на диаграмме $\left(P, V\right)$, где $V$ – объем системы.

Источник изображений:

[1]: Бруно Вакаро;

[2]: Музей Виктории и Альберта, Лондон.