Шампанское – это французское игристое вино. В результате брожения сахаров в бутылке образуется углекислый газ ($\rm CO_2$). Молярная концентрация $\rm CO_2$ в жидкой фазе $c_\ell$; и парциальное давление $P_{\rm CO_2}$; в газовой фазе связаны формулой $c_\ell=k_{\rm H} P_{\mathrm{CO2}}$, известной как закон Генри. Здесь \(k_{\rm H}\); – постоянная Генри.
Сразу после открытия бутылки шампанского при температуре $T_0=20~^\circ\mathrm{C}$ мы наполняем бокал. Давление в жидкости $P_0$ и её температура $T_0$ остаются постоянными. Рассмотрим зарождение пузырька $\ce{CO2}$, когда концентрация $c_\ell$ растворенного $\ce{CO2}$ превышает равновесную. Обозначим радиус пузырька за $a$, а давление внутри него – за $P_{\rm b}$.
В жидкости концентрация растворённого $\ce{CO2}$ зависит от расстояния до пузырька. На больших расстояниях она равна $c_\ell$, а у поверхности пузырька – $c_{\rm b}$. Согласно закону Генри, $c_{\rm b} = k_{\rm H} P_{\rm b}$. В дальнейшем считайте, что пузырьки содержат только $\ce{CO2}$.
Так как $c_\ell \neq c_{\rm b}$, молекулы $\ce{CO2}$ диффундируют из области с высокой концентрацией в область с низкой концентрацией. Считайте, что все молекулы из жидкой фазы, достигшие поверхности пузырька, переходят в газообразное состояние.
На практике пузырьки в основном вырастают из уже существующих полостей с газом. Рассмотрим пузырёк с начальным радиусом $a_0 \approx 40~мкм$. Число молей $\ce{CO2}$, переносимых через единицу площади поверхности пузырька в единицу времени, обозначим $j$. Для $j$ возможны две модели:
Экспериментально установлено, что радиус пузырька $a(t)$ зависит от времени, как показано на рис. 2. Здесь $c_\ell \approx 4c_0$. Так как пузырьки настолько большие, что их видно, избыточным давлением, вызванным поверхностным натяжением, можно пренебречь, т.е. $P_{\rm b} \approx P_0$.
A3 1.20 Выразите количество молей $\ce{CO2}$ в пузырьке, $n_{\rm c}$, через $a, P_0, T_0$ и универсальную газовую постоянную $ R$. Найдите зависимость $a(t)$ в каждой из моделей. Укажите, какая модель соответствует экспериментальным результатам на рис. 2. В зависимости от вашего ответа, вычислите $K$ или $D$.
В конце концов пузырьки отрываются от дна стакана и продолжают расти, поднимаясь вверх. На рис. 3. показана дорожка из пузырьков. Пузырьки в дорожке имеют одинаковые начальные радиусы и возникают с постоянной частотой $f_{\rm b}=20~Гц$.
Для изучаемого здесь диапазона скоростей сила сопротивления $F$, действующая на пузырек радиусом $a$, движущийся со скоростью $v$ в жидкости с динамической вязкостью $\eta$, определяется законом Стокса $ F = 6 \pi \eta a v $. Измерения показывают, что в любой момент времени можно считать, что пузырёк движется с установившейся скоростью.
В процессе подъёма пузырьков всё так же происходит их квазистационарный рост со скоростью $q_{a}=\mathrm{d} a/\mathrm{d} t$.
A5 0.50 Выразите радиус $ a_{{H}_\ell} $ пузырька, достигшего поверхности, через пройденную высоту $H_\ell$, скорость роста $q_{a}=\mathrm{d} a/\mathrm{d} t$, и любые другие константы, которые могут понадобиться. Считайте $q_a $ постоянной, а $ a_{{H}_\ell} \gg a_0$. Вычислите $ a_{{H}_\ell}$ при $H_\ell=10~см$ и $q_{a}$, найденном из Рис. 2.
Пусть пузырьки зарождаются на дне бокала шампанского в $N_{\rm b}$ центрах с постоянной частотой $f_{\rm b} $ (глубина бокала $H_\ell $, его объём $V_\ell$). Считайте, что $a_0$ по-прежнему можно пренебречь. Пренебрегайте также диффузией $\ce{CO2}$ на поверхности жидкости.
Маленькие пузырьки имеют почти сферическую форму, когда достигают поверхности жидкости. Как только плёнка жидкости, отделяющая пузырёк от воздуха, достаточно истончается, в ней образуется круглое отверстие радиусом $r$, которое под действием поверхностного натяжения очень быстро расширяется (рис. 4. слева). Отверстие расширяется с постоянной скоростью $v_{\rm f} $ (рис. 4. справа). Пленка за пределами ободка остается неподвижной и имеет постоянную толщину $h$.
Из-за диссипативных процессов в кинетическую энергию между $t$ и $t+\textrm{d}t$ преобразуется только половина изменения поверхностной энергии ободка и скопившейся жидкости. Также считайте, что изменение площади поверхности ободка пренебрежимо мало по сравнению с изменением площади поверхности плёнки.
Модель Гельмгольца можно использовать и для пузырька радиусом $a$. Пусть $V_0$ – объем замкнутого пузырька. Можно показать, что масса $m_p = 8\rho_g r^3/3$, где $r$ – радиус отверстия в пузырьке, а $\rho_g=1.8~кг \cdot м^{-3}$ – плотность газа (рис. 5, справа). В процессе лопания $r$ изменяется от 0 до $r_{\rm c}$, где $r_{\rm c} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}a^2 \sqrt{\dfrac{\rho_\ell g_{0}}{\sigma}}$. В то же время частота издаваемого звука увеличивается до максимальной величины $40~кГц$, а время разрыва пузырька составляет $t_b =3e-2~мс$.
В бутылке образуется суммарное количество вещества $\ce{CO2}$, равное $n_{\rm T} = 0.2~моль$. Он существует либо в растворенной форме в объёме $V_{\rm L} = 750~мл$ жидкого шампанского, либо в виде газа в объёме $V_{\rm G}=25~мл$ под пробкой (рис. 6, слева). В $V_{\rm G}$ содержится только $\ce{CO2}$. Равновесие между двумя фазами $\ce{CO2}$ подчиняется закону Генри. Считайте, что быстрое расширение газообразного $\ce{CO2}$ при открытии бутылки является адиабатическим и обратимым. Температура окружающей среды $T_0$ и давление $P_0 = 1~атм$ постоянны.
Еще один этап производства шампанского (не описанный здесь) даёт следующие $P_i$, которые будем использовать всюду в дальнейшем: $P_{\rm i} = 4.69~атм$ при $T_0 = 6~^\circ\mathrm{C}$ и $P_{\rm i} = 7.45~атм$ при $T_0 = 20~^\circ\mathrm{C}$.
Во время открытия бутылки можно наблюдать два различных явления в зависимости от $T_0$ (рис. 6, справа):
Давление насыщенных паров $P^{\ce{CO2}}_{\rm sat}$ для перехода $\ce{CO2}$ из твёрдого в газообразное состояние задаётся следующей формулой: $\log_{10}\left(\dfrac{P^{\ce{CO2}}_{\rm sat}}{P_0}\right) = A - \dfrac{B}{T+C}$, где $T$ измеряется в $\unit{К}$, $A= 6.81$, $B=1.30e3~К$ и $C=-3.49~К$.
Во время открытия бутылки пробка вылетает. Исследуем, на какую максимальную высоту $H_{\rm c}$ она может подлететь. Предположим, что сила трения $F$, вызванная воздействием горлышка бутылки на пробку, равна $F = \alpha A$, где $A$ – площадь контакта, а $\alpha$ – постоянная, которую нужно определить. Первоначально сила давления лишь немного превышает силу трения. Масса пробки равна $m=10~г$, её диаметр равен $d=1.8~см$. Длина цилиндрической части пробки, первоначально находящейся в горлышке, равна $\ell_0 = 2.5~см$. После вылета пробки из горлышка бутылки можете пренебрегать силой давления.
[1] Liger-Belair et al, Am. J. Enol. Vitic., Vol. 50, No. 3 (1999).
[2] Liger-Belair et al, Sc. Reports 7, 10938 (2017).