Хорошо известно, что Луна всегда обращена одной стороной по отношению к Земле. Это любопытное свойство - не совпадение, а прямое следствие приливных сил взаимодействия, действующих между Землей и Луной. Со временем приливные силы непрерывно замедляли вращение Луны вокруг ее собственной оси, пока период этого вращения не стал равным периоду орбитального движения Луны вокруг Земли. По той же причине вращение Земли вокруг своей собственной оси постоянно замедляется, а орбитальная скорость Луны все больше уменьшается.

Решайте задачу в следующих обозначениях и предположениях, а также воспользуйтесь следующими данными:

• во всех пунктах задачи Луну можно считать материальной точкой;
•  гравитационная постоянная $G=6{.}67\cdot{10^{-11}}~\text{м}^3/(\text{кг}\cdot{\text{с}^2})$;
• радиус Земли $R_0=6{.}37\cdot{10^6}~\text{м}$;
• масса Земли равна $M=5{.}98\cdot{10}^{24}~\text{кг}$;
• отношение массы Земли $M$ к массе Луны $m$ равно $k=M/m=81$;
• собственная ось вращения Земли перпендикулярна плоскости её движения;
• угловая скорость вращения Земли вокруг собственной оси $\vec{\Omega}$ всегда совпадает по направлению с угловой скоростью орбитального движения $\vec{\omega}$;
• в данный момент угловые скорости $\vec{\Omega}$ и $\vec{\omega}$ обозначим за $\vec{\Omega}_0$ и $\vec{\omega}_0$ соответственно;
• в данный момент период вращения Земли вокруг собственной оси $T_{\Omega}=2\pi/\Omega_0 = 1~\text{сутки}$, а период орбитального вращения системы $T_{\omega}=2\pi/\omega_0 = 27{.}3~\text{суток}$;
• орбита Луны остается круговой;
• воздействием Солнца на систему можно пренебречь;
• в данный момент расстояние $L$ между Землёй и Луной увеличивается со скоростью $dL/dt=3{.}8~\text{см}/\text{год}$;
• момент импульса системы рассчитывается относительно центра масс системы и равен $\vec{K}$.

Часть A. Эволюция системы (6.0 балла).

В данной части задачи исследуется эволюция данной системы.

A1 Чему в данный момент равно расстояние $L_0$ между Землёй и Луной? Ответ выразите через $G$, $M$, $k$ и $\omega_0$. Вычислите значение $L_0$.

A S

A2 Покажите, что компонента момента импульса Земли, связанная с орбитальным движением её центра масс пренебрежимо мала.

S

В дальнейшем отношения вида $k/(k+1)$ считайте равными единице.

A3 Получите выражение для момента импульса $\vec{K}$ системы относительно её центра масс. Ответ выразите через $M$, $k$, $R_0$, $L$, $\vec{\omega}$ и $\vec{\Omega}$.

A S

A4 Найдите скорость изменения угловой скорости собственного вращения Земли $d\Omega/dt$. Ответ выразите через $R_0$, $L$, $\omega$, $k$ и $dL/dt$.

A S

A5 Найдите отношение скоростей изменения кинетических энергий Земли и Луны $\dot{E_\text{З}}/\dot{E_\text{Л}}$. Ответ выразите через $\Omega$ и $\omega$. Чему равна эта величина в данный момент?

A S

A6 На сколько в данный момент изменяется продолжительность Земных суток за один год?

A S

A7 Вычислите значение $kR^2_0/L^2_0$.

A

A8 Используя результат пункта $\mathrm{A7}$, найдите угловую скорость вращения системы $\omega$, когда системы будет двигаться синхронно, т.е угловые скорости вращения Земли и Луны вокруг собственных осей сравняются с угловой скоростью их орбитального движения. Ответ выразите через $\Omega_0$, $\omega_0$, $k$, $R_0$ и $L_0$. Найдите численное значения $\omega$

A S

A9 Найдите расстояние $L$ между Землёй и Луной при их синхронном движении. Ответ выразите через $L_0$, $\omega_0$ и $\omega$. Вычислите $L$.

A

Часть B. Поверхность воды на Земле при синхронизации (4.0 балла).

В этой части исследуется форма поверхности жидкости на Земле в синхронном режиме. Величины $L$ и $\omega$ были вычислены вами в пунктах $\mathrm{A8}$ и $\mathrm{A9}$ и в данной части задачи остаются постоянными. Для простоты считайте, что: 

• вся поверхность Земли покрыта тонким слоем океана;
• собственное гравитационное поле Земли совпадает с полем однородного шара радиуса $R$ и массы $M$;
• гравитационное поле воды можно не учитывать.

Будем решать задачу в системе отсчёта, вращающейся с $\vec{\omega}$ вокруг центра масс системы $C$. В этой системе отсчёта поверхность жидкости является статической. В плоскости $P$, проходящей через $C$ и перпендикулярной к оси вращения, положение материальной точки на жидкой поверхности может быть описано полярными координатами $r$, $\varphi$ ($r$ - расстояние от центра Земли).

Мы будем изучать форму $r(\varphi)$ жидкой поверхности Земли в плоскости $P$:
$$r(\varphi)=R+h(\varphi)
$$
Рассмотрим материальную точку массой $m$ на жидкой поверхности Земли (в плоскости $P$). В нашей системе отсчёта на неё действует центробежная сила, а также силы гравитационного притяжения со стороны Земли и Луны.

B1 Найдите точное выражение для потенциальной энергии материальной точки $m$. Ответ выразите через $m$, $r$, $L$, $\varphi$, $M$, $k$ и $G$.

A S

B2 Рассмотрим выражение
$$f(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2-2a\cos\varphi}}
$$где $a$ - постоянная величина.
Покажите, что при $a\ll{1}$
$$f(\varphi)\approx{1+a\cos\varphi+\frac{a^2}{2}\left(3\cos^2\varphi-1\right)}
$$

S

B3 Найдите приближённо форму поверхности жидкости $h(\varphi)$ через $k$, $R_0$ и $L$. Какова максимальная разница (в метрах) между уровнями поверхности жидкости?

A S