Оборудование

Лист бумаги формата A4 с изображением пяти полосок на каждой из которых указан угол $\varphi$ её ориентации, относительно длинной стороны листа; чистый лист бумаги формата A4 (масса листа составляет $5{,}0$ г, его толщина $\delta = 0{,}10$ мм); две деревянные линейки длиной $25-30$ см; миллиметровая бумага формата A4 ($2$ листа); струбцина (или клипса $48$ мм); ножницы.

Описание эксперимента

Анизотропией называется различие свойств среды (например: упругости, электропроводности, теплопроводности, скорости звука, показателя преломления света и др.) в различных направлениях внутри этой среды.

Теоретическое введение. Максимальное смещение $y$ (так называемая стрела прогиба) конца тонкой горизонтальной планки длиной $l$ под влиянием собственного веса можно определить по формуле: \begin{equation} y = \beta E^k \rho^r b^s \delta^t g^h l^f, \end{equation} где $k$, $r$, $s$, $h$, $f$ — некоторые \textbf{целые} числа, $\beta = \frac{3}{2}$ — безразмерный коэффициент, $t = -2$, $E$ — модуль Юнга, $\rho$ — плотность материала планки, $\delta$ — толщина планки, $b$ — ширина планки, $g$ — ускорение свободного падения. Отметим, что формула (1) справедлива при условии малости прогиба $y$ (при $y < 0{,}5 l$).

Модуль Юнга — одна из характеристик твёрдого тела, определяющая его упругие свойства. По закону Гука относительная деформация $\varepsilon$ стержня под действием силы $F$, приложенной перпендикулярно плоскости его поперечного сечения площадью $S$, равна:
\[\varepsilon = \frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{ES}.\]Для анизотропных тел модуль Юнга может зависеть от направления.

Задание

В работе нужно исследовать, зависит ли значение модуля Юнга от ориентации бумажной полоски относительно листа бумаги формата A4 из которого она вырезана.

A1 С помощью чистого листа А4 исследуйте зависимость $y \sim b^s$ (напомним, что $s$ — целое число). Приведите рисунок, поясняющий, как вы проводите данную часть эксперимента.

A2 Руководствуясь экспериментальными результатами и методом размерностей, определите показатели степеней в формуле (1). Примечание: при малых деформациях полоски бумаги $y \sim F$, где $F$ — сила, приложенная к полоске.

A3 Аккуратно вырежьте из выданного листа бумаги полоски (угол их ориентации относительно длинной стороны листа указан на самих полосках). Полоски нельзя гнуть, мять, т.к. в противном случае вы можете сильно исказить результаты эксперимента.

A4 Для каждой полоски, закреплённой с помощью клипсы на краю стола, снимите зависимость стрелы прогиба $y$ от длины $l$ выступающей за край стола части (см. рис.). Выполните измерения для $5-6$ различных значений $l$.

A5 Для каждой полоски постройте график $y(l^f)$ и из него определите значение модуля Юнга $E(\varphi)$.

A6 Постройте график зависимости модуля Юнга от угла $\varphi$. Для каждого значения модуля Юнга изобразите «крест ошибок».

A7 Сделайте вывод, наблюдается ли анизотропия модуля Юнга.