Любой вектор можно определить с помощью его проекций на координатные оси или с помощью его модуля и направления. Например, вектор скорости показывает скорость изменения координат объекта при использовании первого метода определения, а во втором случае определяет как быстро и в каком направлении объект движется.

Таким образом, вектор ускорения, показывающий изменение скорости со временем, должен содержать в себе информацию про скорость изменения модуля скорости и скорость изменения направления скорости. В этой задаче постараемся показать это и написать уравнения, описывающие это.

Вам могут понадобиться следующие формулы и опредения:
-Определение скалярного произведения векторов $\vec A$ и $\vec B$, угол между которым равен $\alpha$:
$$\left(\vec A \cdot \vec B\right) = \left(\vec B \cdot \vec A\right) = \left|\vec A\right|\cdot\left|\vec B\right|\cdot\cos\alpha$$-Выражение для скалярного произведения этих векторов через их координаты:
$$\left(\vec A \cdot \vec B\right) = A_xB_x + A_yB_y$$-Линейность скалярного произведения:
$$\left(\vec A \cdot \left(\vec B+\vec C\right)\right) = \left(\vec A \cdot \vec B\right) + \left(\vec A \cdot \vec C\right)$$-Обозначения производных:
$$\frac{df(t)}{dt} = f^\prime(t) = \dot f(t)$$-Свойства производной:
$$\left(f(x) + g(x)\right)^\prime = f^\prime(x) + g^\prime(x)$$$$\left(f(x)g(x)\right)^\prime = f(x) g^\prime(x) + f^\prime(x)g(x)$$$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^\prime = \frac{f^\prime(x)g(x) - f(x)g^\prime(x)}{\left(g(x)\right)^2}$$$$\left(f\left(g(x)\right)\right)^\prime = f^\prime\left(g(x)\right)\cdot g^\prime(x)$$-Производные некоторых функций:
$$\frac{d x^n}{dx} = nx^{n-1}$$$$\frac{d e^x}{dx} = e^x$$$$\frac{d \ln x}{dx} = \frac{1}{x}$$$$\frac{d \sin x}{dx} = \cos x$$$$\frac{d \cos x}{dx} = -\sin x$$

Введём обозначения для скорости и ускорения:
$$\vec v = \left(v_x, v_y\right)$$$$\vec a = \left(a_x, a_y\right) = \left(\dot v_x,\dot v_y\right)$$

Часть А. Закупаемся по низу.

Для начала докажем вспомогательные формулы.

A1 Выразите $\left|\vec v\right|^2$ через $v_x$ и $v_y$.

Разложим вектор ускорения на сумму двух векторов, один из которых параллелен скорости, а другой перпендикулярен ей.
$$\vec a = \vec a_\parallel + \vec a_\perp,\qquad \vec a_\parallel \parallel \vec v,\qquad \vec a_\perp \perp \vec v$$

A2 Выразите $\left|\vec a\right|$ через $\left|\vec a_\parallel\right|$ и $\left|\vec a_\perp\right|$.

A3 Докажите, что $\left(\vec v \cdot \vec a\right) = \left(\vec v\cdot \vec a_\parallel\right)$ и $\left|\left(\vec v \cdot \vec a\right)\right| = \left|\vec v\right|\cdot \left|\vec a_\parallel\right|$.

A4 Выразите $\left|\vec a_\perp\right|$ через $\left|\vec a\right|$, $\left|\vec v\right|$ и $\left(\vec v \cdot \vec a\right)$.

A5 Докажите, что
$$\frac{d\left(f(t)\right)^2}{dt} = Af(t)\dot f(t),$$где $A$ - некоторая константа, и найдите значение $A$. Если у вас не получилось выполнить этот пункт, считайте $A = 2$.

A6 Используя результаты A1 и A5, выразите $\frac{d\left(\vec v\cdot\vec v\right)}{dt}$ через $\left(\vec v\cdot\vec a\right)$.

Часть B. Продаём по верху

Теперь перейдём к изучению модуля и направления скорости.

Обозначим $v$ и $\varphi$ модуль скорости и угол, который она образует с осью $x$, соответственно.

B1 Выразите $v_x$ и $v_y$ через $v$ и $\varphi$.

B2 Выразите $\frac{d\left(\vec v\cdot\vec v\right)}{dt}$ через $v$ и $\dot v$.

B3 Выразите $a_x$ и $a_y$ через $v$, $\varphi$, $\dot v$ и $\dot\varphi$.

B4 Выразите $\left|\vec a_\perp\right|$ через $v$, $\varphi$, $\dot v$ и $\left|\dot\varphi\right|$.

B6 Выразите $\dot v$ через $v$ и $\left(\vec v\cdot\vec a\right)$.

B7 Выразите $\left|\dot\varphi\right|$ через $v$, $\left(\vec v\cdot\vec a\right)$ и $\left|\vec a\right|$.