A1.1 Покажите, что, если $u$ есть относительное смещение положительных и отрицательных ионов с зарядом $\pm e$ и приведенной массой $\mu$, уравнение движения имеет вид $$\mu \frac{\mathrm d^{2} u}{\mathrm d t^{2}}=-k_{0} u+e E \tag{1}$$ и что поляризация $P$ определяется уравнением $$P=\frac{1}{V}\left[\left(\alpha_{+}+\alpha_{-}\right) E+e u\right], \tag{2}$$ где $\alpha_{+}$и $\alpha_-$ – поляризуемости ионов, а $V$ – объем, содержащий пару ионов.

Прежде всего вспомните определение электрического смещения $D$ в изотропной среде с относительной диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_{r}$ : $$D=\varepsilon_{0} \varepsilon_{r} E=\varepsilon_{0} E+P. \tag{3}$$

A1.2 Решением уравнения $(1)$ является гармоническое движение с угловой частотой $\omega$. Эта угловая частота принимает значение $\omega_{r}$, если имеют место лишь короткодействующие взаимодействия. Найдите дисперсионное выражение $\varepsilon_{r}(\omega)$ из уравнений $(1)$, $(2)$ и $(3)$. Покажите, что оно может быть записано в виде $$n^{2}=\varepsilon_{r}=\varepsilon_{\infty}+\frac{\varepsilon_{s}-\varepsilon_{\infty}}{1-\left(\omega / \omega_{t}\right)^{2}} \tag{4}$$ где $\varepsilon_{s}$ – относительная диэлектрическая проницаемость для электростатического поля ($\omega \rightarrow 0$), а $\varepsilon_{\infty}$ – относительная диэлектрическая проницаемость для высоких частот ($\omega \gg \omega_{t}$). Изобразите кривую $\varepsilon_{r}(\omega)$. Пусть $\omega_{1}$ – частота, для которой $\varepsilon_{r}=0$. Найдите соотношение $\omega_{1}/\omega_{t}$ как функцию $\varepsilon_{s}$ и $\varepsilon_{\infty}$.

B1 Нарисуйте кривую зависимости коэффициента отражения $R$ от $\omega$ при нормальном падении света на кристалл.

Пусть $\omega_{r}$ – частота, для которой $R=0$. Найдите соотношение между $\omega_{r}$, $\omega_{t}$, $\varepsilon_{s}$ и $\varepsilon_{\infty}$. 

Приложение

Для $\mathrm{NaCl}$ экспериментально найдены такие значения; $\lambda_{r}=31~мкм$, $\lambda_{t}=61.1~мкм$, $\varepsilon_{s}=5.62$ и $\varepsilon_{\infty}=2.25$.

С какой точностью выполняется предыдущее соотношение?

C1 Экспериментальные кривые $\varepsilon_{r}(\omega)$ и $R(\omega)$ значительно отличаются от теоретических кривых, найденных в разделах A1.1, A1.2 и B1. В частности, $\varepsilon_{r}$ остается конечной величиной при $\omega=\omega_{t}$, и имеется максимальное значение $R$, меньшее единицы, при определенной частоте $\omega_{m}$. Чтобы интерпретировать эти результаты, в уравнение движения $(1)$ введите член, учитывающий тормозящую силу $-\gamma \mathrm d u / \mathrm d t$. Что произойдет с этим уравнением, имеющим периодическое комплексное решение? Что произойдет с уравнением $(4)$? Предположите, что отношение $\gamma / \omega t$ мало и рассмотрите, как это влияет на кривую $R(\omega)$. Хэвлок показал, что это выражение стремится к виду $$\frac{\omega_{m}}{\omega_{t}}=\left(1+\frac{\varepsilon_{s}-\varepsilon_{\infty}}{6 \varepsilon_{\infty}-4}\right)^{1 / 2}. \tag{5}$$ С помощью этого выражения найдите $\lambda_{m}$ для $\mathrm{NaCl}$ и сравните ее с экспериментальным значением, равным $52~мкм$.