Вам предстоит исследовать особенности баллистического движения в случаях, когда во время полета тело сталкивается и абсолютно упруго отражается от массивных препятствий. Сопротивлением воздуха в этой задаче можно пренебречь. Ускорение свободного падения $g=9.8~{\rm m/s}^2$.

Могут оказаться полезными следующие математические факты. Рассмотрим многочлен второй степени $f(x)=ax^2+bx+c$, $a<0$.

1. Графиком этой функции является парабола, абсцисса вершины которой $x=-\frac{b}{2a}$. Иначе говоря, в этой точке $f(x)$ принимает максимальное значение.
2. Рассмотрим уравнение $f(x)=0$. Пусть оно имеет два корня, $x_1$ и $x_2$. Тогда справедливы следующие равенства
   \[
   x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1x_2=\frac{c}{a}.
   \]

Часть A. Отражение от стенки (1.5 балла)

Рассмотрим столкновение тела с массивной вертикальной стенкой. Будем работать в декартовой системе координат, такой, что ось $Oy$ вертикальна. Пусть скорость тела за мгновение до столкновения равна $\vec{v}_0=(v_{0x}, v_{0y})$. Стенка движется со скоростью $\vec{u}=(-u,0)$, $u>0$.

A1 Найдите относительную скорость $\vec{v_0}'=(v_{0x}', v_{0y}')$ тела в системе отсчета стенки. Выразите координаты вектора через $v_{0x}$, $v_{0y}$, $u$.

A S

Поскольку препятствие массивное, а удар абсолютно упругий, в системе отсчета, связанной со стенкой, модули скорости тела до и после столкновения одинаковы, а угол отражения тела равен углу падения. Этим предположением необходимо пользоваться на протяжении всей задачи.

A2 Найдите скорость $\vec{v}'=(v_{x}', v_{y}')$ тела в системе отсчета стенки сразу после отражения от стенки. Выразите координаты вектора через $v_{0x}'$, $v_{0y}'$.

A S

A3 Найдите скорость $\vec{v}=(v_{x}, v_{y})$ тела в лабораторной системе отсчета сразу после отражения от стенки. Выразите координаты вектора через $v_{0x}$, $v_{0y}$, $u$.

A S

Часть B. Полет с одним отражением (5.0 баллов)

Пусть теперь ось $Oy$ направлена вертикально вверх, а ось $Ox$ горизонтальна и лежит в плоскости броска. Тело находится в начале координат $x=y=0$. В начальный момент времени ($t=0$) тело бросают с известной начальной скоростью $\vec{v_{0}}=(v_{0x}, v_{0y})$.

B1 Определите координаты тела $x(t)$, $y(t)$ в момент $t$ после запуска. Выразите ответ через $v_{0x}$, $v_{0y}$, $g$, $t$.

A S

B2 Известно, что в некоторый момент времени тело находилось на высоте $h$ над поверхностью земли. Запишите уравнение, позволяющее найти время $t$ после запуска, когда такое могло произойти. Выразите коэффициенты уравнения через $v_{0y}$, $g$, $h$

A S

Известно, что в моменты времени $t_1$ и $t_2$ после броска тело находилось на одной и той же высоте над поверхностью земли.

B3 Определите эту высоту и найдите вертикальную проекцию $v_{0y}$ начальной скорости. Выразите ответы через $t_1$, $t_2$, $g$.

S

B4 Определите полное время полёта. Выразите его через $t_1$, $t_2$.

S

B5 Определите максимальную высоту подъема тела. Выразите ответ через $t_1$, $t_2$, $g$.

A S

В точке, куда должно приземлиться рассматриваемое тело, находится массивная вертикальная стенка. Одновременно с запуском тела она начинает двигаться ему навстречу.

B6 Выразите горизонтальную проекцию $v_x$ скорости тела сразу после отскока от стенки через $v_{0x}$ и модуль скорости стенки $u$.

A S

B7 Пусть в момент времени $\tau$ происходит столкновение стенки с телом. Выразите величину скорости стенки $u$ через $v_{0x}$, $\tau$ и время полета $t$ в отсутствии стенки.

A S

Было проведено два эксперимента, описанных в условии задачи. Их отличие состояло исключительно в начальной скорости стенки. Известно, что в первом случае столкновение произошло в момент времени $t_1$, а во втором — в момент времени $t_2$, но в обоих случаях на одинаковой высоте. Расстояние между местами падения тела в первом и втором эксперименте равно $L$.

B8 Определите $v_{0x}$. Выразите ответ через $L$, $t_1$, $t_2$.

A S

B9 Рассчитайте численное значение модуля $v_0$ начальной скорости в случае $L=16~{\rm m}$, $t_1=2~{\rm s}$, $t_2=3~{\rm s}$.

A S

B10 Рассчитайте численное значение начального расстояния $S$ между стенкой и точкой броска тела.

A S

Часть C. Движение между двумя стенками (3.5 балла)

Рассмотрим теперь запуск тела из начальной точки с некоторой фиксированной начальной скоростью $v_0$, но свободным углом запуска $\alpha$. Параболой безопасности называется граница области, за которую снаряд не может попасть независимо от угла запуска $\alpha$. Для начала необходимо получить уравнение параболы безопасности.

Пусть снова ось $Oy$ вертикальна, а ось $Ox$ горизонтальна и лежит в плоскости броска. Тело находится в начале координат $x=y=0$.

C1 Определите максимальную высоту $h$, которой может достичь тело, брошенное с начальной скоростью $v_0$. Выразите ответ через $v_0$, $g$.

A S

C2 Определите максимальную дальность броска $L$. Выразите ответ через $v_0$, $g$.

A S

Считая известным, что границей области является парабола, можем заключить, что её уравнение имеет вид $y=ax^2+bx+c$.

C3 Используя результаты предыдущих пунктов, определите коэффициенты $a$, $b$ и $c$. Выразите ответы через $v_0$, $g$.

A S

Рассмотрим человека, который бросает маленький шарик с высоты $H$. Начальная скорость броска $v_0$.

C4 Определите максимальное смещение $R$ шарика по горизонтали к моменту падения на поверхность. Выразите ответ через $v_0$, $g$, $H$.

A S

Пусть теперь человек выполняет такой же бросок, находясь строго посередине между двумя вертикальными стенками, расстояние между которыми $l$.

C5 Чему равно максимальное число отскоков шарика от обеих стенок к моменту приземления на землю? Выразите ответ через $v_0$, $g$, $H$, $l$.

A S

Hint. Представьте, что на стене, о которую ударяется тело, висит зеркало. Каким будет движение тела после отскока в зеркале?

C6 Рассчитайте численное значение для $v_0=5~{\rm m/s}$, $H=4~{\rm m}$, $l=2~{\rm m}$.

A S