Магнитные поля можно найти повсюду. Например, магнитное поле Земли составляет $25-60~\text{мкТл}$, сильные постоянные магниты дают поле около $1~\text{Тл}$, магнитные поля, создаваемые в лабораториях, могут достигать индукции в $45~\text{Тл}$, магнитные поля нейтронных звезд и магнетаров – до $10^{11}~\text{Тл}$. В этой задаче мы рассмотрим несколько эффектов, связанные с сильными магнитными полями. Плотность энергии магнитного поля $w=\frac{B^2}{2\mu\mu_0}$, где $\mu_0=1{,}3\cdot{10^{-6}}~\text{Н}/\text{А}^2$ – магнитная постоянная, $\mu$ – относительная магнитная проницаемость среды. Системы всегда пытаются занять состояние с более низкой энергией, из чего следует, что ферромагнетики ($\mu\gg{1}$) втягиваются в области сильных магнитных полей, в то время как диамагнитные вещества ($\mu<1$) – выталкиваются. Магнитная восприимчивость $\chi=\mu-1$ диамагнетиков – это малая величина, $|\chi|\ll{1}$, поэтому, чтобы сила выталкивания была значительной, магнитное поле должно быть сильным. Вода – диамагнетик ($\chi=-9\cdot{10^{-6}}$ ), и животные состоят главным образом из воды. Поэтому лягушка может левитировать в достаточно сильном магнитном поле.

Пусть высота лягушки $H$ не превышает $h_0=10~\text{мм}$, и положим, что квадрат индукции поля зависит от координаты так, как показано на рис.1.

A1  ^1.50 Найдите значения индукции поля $B_0~\text{(в Тл)}$, при котором лягушка будет левитировать. Считайте, что лягушка состоит целиком из воды. Плотность воды $\rho=1000~\text{кг}/\text{м}^3$. Ускорение свободного падения $g=9.8~\text{м}/\text{с}^2$.

B1  ^1.00 Пусть индукция магнитного поля на полюсе звезды была $B_s=100~\text{мкТл}$ и ее средняя плотность $\rho_s=1400~\text{кг}/\text{м}^3$. Какой станет индукция магнитного поля $B_n$ на полюсе, когда звезда превратится в нейтронную звезду? Плотность вещества нейтронной звезды $\rho_n=5\cdot{10^{17}}~\text{кг}/\text{м}^3$.

B2  ^1.00 В действительности магнитные поля нейтронной звезды выглядят по-другому. Рассмотрим очень упрощенную модель. Внутренняя часть звезды сжимается до размеров нейтронной звезды, а внешняя – остается того же размера. Пусть до сжатия звезда вращалась с угловой скоростью $\omega_s$. Выразите новую угловую скорость вращения внутренней части звезды $\omega_n$ через $\omega_s$, $\rho_s$ и $\rho_n$.

Т.к. угловые скорости вращения внутренней и внешней части звезды разные, линии поля будут выглядеть, как показано на рисунке.

Проведите расчеты в следующих упрощающих предположениях: 

1. решайте задачу в двумерном случае, т.е. считайте звезду цилиндрической;
2. считайте, что поле было цилиндрически симметричным в начальный момент времени; 
3. линии поля начинаются на внутреннем цилиндре и заканчиваются на внешнем.

B3  ^1.50 Пусть начальная индукция поля у внешнего цилиндра была $B_0$. Найдите индукцию поля $B$ в зависимости от времени $t$ ($t\gg{1/\omega_n}$) в области, где линии поля «растягиваются». Ответ выразите через $B_0$, $\omega_n$ и $t$.

B4  ^1.00 Примем следующую модель. При сжатии звезды гравитационная энергия переходит в кинетическую энергию вращения (пренебрежем тепловой энергией), которая затем переходит в магнитную. В этих предположениях оцените максимальную индукцию магнитного поля $B_\text{max}$ нейтронной звезды массы $M_n=4\cdot{10^{30}~\text{кг}}$ и радиуса $r_n=13~\text{км}$. Гравитационная постоянная $G=6.67\cdot{10^{-11}}~\text{м}^3/(\text{кг}\cdot{с}^2)$

C1  ^1.00 Очень сильные магнитные поля могут влиять на химические свойства вещества, изменяя формы электронных орбит. Это происходит, когда сила Лоренца, действующая на электрон, становится больше кулоновского взаимодействия с ядром. Оцените индукцию магнитного поля $B_H$, необходимую для искривления орбиты в атоме водорода. Радиус орбиты электрона $R_H=5\cdot{10^{-11}~\text{м}}$. Заряд электрона $e=1{,}6\cdot{10^{-19}~\text{Кл}}$, масса электрона $m_e=9{,}1\cdot{10^{-31}}~\text{кг}$, электрическая постоянная $\varepsilon_0=8{,}85\cdot{10^{-12}~\text{Ф}/\text{м}}$.