Оптические схемы на основе оптоволокна позволяют изготавливать недорогие и при этом чувствительные сенсоры. В качестве примера рассмотрим волоконный акселерометр — прибор, измеряющий ускорение.
Постоянная Больцмана $k_B = 1.38 \cdot 10^{-23}~Дж/К$.
Вокруг резиновой опоры туго намотан жесткий провод диаметром $d=80~мкм$ и модулем Юнга $E=74.0~ГПа$. Количество оборотов провода равно $N=80$, высота области намотки $h=2.00~см$, диаметр области намотки $D=3.50~см$.
Силиконовая резина является таким материалом, форма которого чрезвычайно легко может меняться, но при этом ее объемная упругость очень велика. Поэтому объем резины внутри области намотки не меняется.
Допустим, высота области намотки изменилась и стала $h + \delta h$, $\delta h \ll h$, а диаметр $D + \delta D$.
Из-за деформации резины длина провода стала $L + \delta L$.
\[\delta L = \Lambda \delta h.\]Выразите $\Lambda$ через $N$, $D$, $h$. Количество оборотов $N$ жестко зафиксировано.
Рассмотрим груз массы $M=540~г$, зажатый между двумя одинаковыми вертикальными опорами, рассмотренными ранее. Опоры жестко скреплены с недеформируемым корпусом сенсора.
Положение груза массы $M$ в лабораторной системе отсчета (ЛСО) обозначим за $x$ а положение корпуса сенсора в ЛСО обозначим за $y$. Равновесию соответствует $x=y=0$.
\[\ddot{x} + \omega_0^2 x = A y.\]Выразите $\omega_0$ и $A$ через $M$, $h$, $N$, $D$, $d$ и $E$.
В любой механической системе есть диссипации, поэтому уравнение движения груза, на самом деле, имеет вид
\[\ddot{x} + 2 \zeta \omega_0 \dot{x} + \omega_0^2 x = Ay,\]
где $\zeta \ll 1$ — коэффициент диссипации.
Предположим, что корпус сенсора испытывает гармонические колебания $y = y_0 e^{i \omega t}$. Тогда груз тоже колеблется, $x = x_0 e^{i \omega t}$, а вместе с ним для левой опоры $\delta h = h_0 e^{i \omega t}$ и $\delta L = L_0 e^{i \omega t}$.
Для частот $\omega$ вдали от резонансной $\omega_0$ сенсор работает либо в режиме сейсмографа: $y(t) = K_s \cdot \delta L(t)$, либо в режиме акселерометра: $\ddot{y}(t) = K_a \cdot \delta L(t)$, где $y(t)$ — суперпозиция нескольких низкочастотных или высокочастотных колебаний.
Пример низкочастотных колебаний:
\[ y(t) = B_1 \sin (\omega_1 t) + B_2 \cos (\omega_2 t),\]где $\omega_{1,2} \ll \omega_0$. Низкочастотная область характеризуется тем, что $\zeta \ll \omega_{1,2} / \omega_0$.
Если в качестве жесткого провода для сенсора, описанного в части А, использовать два отрезка оптоволокна, то для измерения $\delta L$ можно использовать изображенную ниже интерферометрическую схему. Показатель преломления сердцевины оптоволокна $n=1.47$.
В этой части продолжают использоваться обозначения и значения величин из части A.
Принцип работы разветвителя следующий: если со стороны лазера падает волна с комплексной амплитудой $E_0$, то она выходит из обоих выходов с другой стороны с комплексными амплитудами $E_0/\sqrt{2}$ и $iE_0/\sqrt{2}$.
Если со стороны измерительной системы падают волны с комплексными амплитудами $E_1$ и $E_2$, то со стороны фотодиода выходит волна с комплексной амплитудой $E_1/\sqrt{2}-iE_2/\sqrt{2}$.
Пусть сенсор оказался в таком состоянии, что правая опора сжата, а длина намотанного на нее волокна увеличена на $\delta L$.
Здесь $\varphi_0$ — набегающая разность фаз между светом, проходящим сквозь волокно, намотанное на правую и левую опоры соответственно, при $\delta L=0$.
Примечание. Можете не следить за знаком $\varphi_0$. Иными словами, решения, отличающиеся заменой $\varphi_0 \to -\varphi_0$, считаются эквивалентными.
Сенсор тестируется для $y(t) = Y \sin (2 \pi f t)$. Зависимость показаний силы тока через фотодиод от времени представлена на рисунке. Сенсор работает в режиме акселерометра.
Найдем строгий теоретический предел для минимальной величины ускорения, которое можно исследовать с помощью акселерометра при работе при комнатной температуре $T$.
Кварц, из которого изготовлена сердцевина оптоволокна, имеет температурную дисперсию $\beta = \mathrm{d}n/\mathrm{d}T = 7.6 \cdot 10^{-6}~К^{-1}$ и коэффициент температурного расширения $\alpha = \mathrm{d}L/(L \, \mathrm{d}T) = 0.54 \cdot 10^{-6}~К^{-1}$.
Разделим оптическое волокно длиной $L$ на $P$ небольших участков длины $\Delta L$. При прохождении света через $i$-ый участок набегает фаза $\varphi_{i,0}$. При этом на всем волокне набегает фаза $\Phi_0 = \sum\limits_i^P \varphi_{i,0}$.
Выразите $\Delta \varphi_i = \varphi_i - \varphi_{i,0}$ через $\Delta T_i$, $\Delta L_i$, $\alpha$, $\beta$, $n$ и $\lambda$.
Будем считать, что отличие температуры от комнатной $\Delta T_i$ является случайным, независимым (для $i \neq j$ выполняется, что $\langle \Delta T_i \Delta T_j \rangle=0$). При этом оно является в среднем нулевым, $\langle \Delta T_i \rangle = 0$, и имеет одинаковую дисперсию $\langle \Delta T_i^2 \rangle = \langle \Delta T^2 \rangle$.
Суммарное изменение набега фазы, вызванное тепловыми флуктуациями, при прохождении (в одну сторону) через волокно длиной $L$ равно $\Delta \Phi = \sum\limits_{i=1}^P \Delta \varphi_i$.
Суммарное изменение набега фазы, вызванное тепловыми флуктуациями, при прохождении через волокно туда-обратно (с отражением от второго торца) обозначим за $\Delta \Psi$.
Величину $\Delta L$ — длину участка, вдоль которого температура считается постоянной, будем считать равной $30.0~\mathrm{мкм}$.