В этой задаче рассматривается модель сил, действующих при резке, упрощенном двумерном процессе, при котором инструмент с прямым лезвием движется перпендикулярно к своему краю, удаляя слой материала постоянной толщины.
На протяжении всей задачи считайте инструмент идеально острым. В задаче используются следующие физические величины:
Эти характеристики материалов в процессе резки можно считать постоянными.
Разрезаемый образец с плоской гранью имеет ширину $w$. Наклонный клин с углом $\theta$ представляет собой острый режущий инструмент. На рис. 2 нижняя грань клина параллельна плоскости разреза и не касается поверхности реза. Таким образом, отрез соприкасается и скользит только по верхней грани.
Введём следующие обозначения сил (см. рис.2) :
Рассмотрим резку очень гибкого, мягкого материала. В этой части предполагайте, что отрез не растягивается, а работа, затрачиваемая на изгиб отреза, пренебрежимо мала, то есть работа, выполняемая режущим инструментом, расходуется только на создание новых поверхностей и преодоление трения.
Нож взаимодействует с материалом только верхней наклоненной гранью.
Если одновременно тянуть нож на себя (совмещать «толкание» и «сдвиг»), резка может стать значительно легче. Этот эффект описывается углом $\psi$ между нормалью к лезвию и направлением движения.
Нож движется со скоростью $v_{\perp}$ вдоль направления резки и со скоростью $v_{\parallel}$ вдоль линии разреза.
В остальном продолжайте работать в модели части A.
При резке металлов в срезе происходят необратимые пластические деформации сдвига. В идеализированной модели деформация происходит в тонкой плоскости сдвига, наклоненной под углом $\varphi$ к горизонту (см. рис. 5). Изображенный на рисунке элемент объема металла пересекает эту плоскость, необратимо деформируется и накапливает энергию. Его грани сдвигаются параллельно плоскости сдвига. На рис. 5 справа пунктиром изображена форма элемента до деформации, а голубой прямоугольник – он же после деформации. В системе отсчета клина слой деформированного металла движется по его поверхности с постоянной скоростью.
Верхняя плоскость клина образует угол $\alpha$ с нормалью к поверхности металла. Взаимодействие клина с металлом происходит только на верхней поверхности клина. Пусть $t$ – толщина слоя, который деформируется в ходе разрезания, $t_c$ – толщина слоя деформированного металла, который образуется на верхней поверхности клина.
Необходимо учесть энергию сдвига. Для этого рассчитаем относительное смещение слоев. Введем параметр $\gamma=\dfrac{|\vec v_2-\vec v_1|}{|\vec v_1|\sin\varphi}$, где $\vec v_2$ – скорость слоя после прохождения ножа в системе отсчета ножа, $\vec v_1$ – скорость слоя до прохождения ножа в системе отсчета ножа.
Энергия, необходимая для деформации сдвига, выражается как $\mathrm d\Gamma=k\gamma wt\mathrm dr,$ где $\mathrm dr$ – горизонтальное смещение ножа, $k$ – постоянная величина. Для удобства в следующем пункте можно ввести обозначение $\mu=\operatorname{tg}\beta$. Аналогично части A на нож действуют силы $F_C$ и $F_T$.
Традиционно в теориях резки металлов значением удельной работой отделения $R$ пренебрегают.
Это соотношение было приведенно Эрнстом и Мерчантом в 1944 г.
Чтобы предсказать силы резки с помощью этого уравнения, необходимо знать $\mu$, а также $\varphi$. Мерчант утверждал, что для заданного $\beta$ угол $\varphi$ будет саморегулироваться таким образом, чтобы минимизировать $F_C$.
Экспериментальные данные для металлов не до конца согласуются с теорией Мерчанта и различаются для разных металлов, хотя вид зависимость $\varphi$ от $\beta - \alpha$ совпадает. Эту теорию позднее стали применять для других материалов, в частности полимеров и дерева.
Рассмотрим образец, растянутый перпендикулярно направлению разреза. При разрезании энергия деформации высвобождается и питает трещину, так что внешней работы, совершаемой лезвием, требуется меньше. Силы разрезания тем меньше, чем больше предварительное напряжение. Данный факт применяется, например, при резке резины.
Лист длины $L$, толщины $w$ и ширины $2t$, уже содержащий разрез длиной $a$, будет иметь треугольные недеформированные области вдоль разреза (рис. 6). При удлинении разреза на $\mathrm da$ недеформированные области растут и высвобождают упругую энергию деформации $\mathrm d\Lambda$.
Рассмотрим растянутый образец, упругое поведение которого при деформации подчиняется линейному соотношению $\sigma = E \varepsilon$, где $E$ – модуль Юнга материала. Резка установилась и происходит квазистатически. Считайте, что напряжение нулевое внутри указанных треугольных областей и равно $\sigma$ во всем остальном листе. Вершины треугольных областей всегда находятся в углах листа и в точке соприкосновения ножа и листа.