В конце ХХ века для описания свойств электропроводности полиацетилена была предложена модель Су-Шиффера-Хигера (SSH-цепочка), которая положила начало топологической физике. На концах топологически нетривиальных систем возникают топологически защищенные краевые состояния.
В этой задаче мы рассмотрим LC-контур — простейшую систему, моделирующую молекулу полиацетилена и обладающую топологическими свойствами.
Примечание. Вынимайте провод мама-банан из платы строго вертикально, чтобы не повредить контакты!
Для измерений на плате доступны контакты J5, J2 и GND (см. рис. 1):
Рассмотрим цепочку, состоящую из конденсаторов $C_1$ и $C_2$ ($C_1 < C_2$) и катушек индуктивности $L$. К самому левому звену цепи подключен генератор, который возбуждает в цепи волны напряжения. Будем считать, что отраженной волны нет, бегущая волна распространяется слева направо.
Цепь изображена на рис. 3. Одно звено обозначено красным прямоугольником. Обозначим потенциал узла $A$ на входе в звено $V$, а узла $B$ — $u$. Нижняя ветвь цепочки заземлена.
Представим волну напряжения в комплексном виде
$$V(n,t) = Ve^{-i\omega t+iqn},$$ $$u(n,t) = ue^{-i\omega t+iqn},$$
где $n$ — номер звена цепочки, $\omega$ — круговая частота сигнала, $q$ — волновой вектор. Дисперсионным соотношением называется зависимость $q(\omega)$.
Обратите внимание, что полученные уравнения выполняются как для конечной, так и для бесконечной цепи.
В зависимости от значения аргумента действительная и мнимая часть арккосинуса действительного числа выражается следующим образом
\[
\Re\bigl(\arccos x\bigr)=
\begin{cases}
\arccos x, & |x|\le 1,\\[4pt]
0, & x>1,\\[4pt]
\pi, & x<-1,
\end{cases}
\qquad
\Im\bigl(\arccos x\bigr)=
\begin{cases}
0, & |x|\le 1,\\[4pt]
\mathrm{arcosh} x, & x>1,\\[6pt]
\mathrm{arcosh} x, & x<-1.
\end{cases}
\]
Если вам не удалось выполнить пункт A2, в дальнейшем считайте, что зависимость $\cos{q}$ от $\omega$ имеет вид $$\cos q = 1-\dfrac{A}{\omega^2}+\dfrac{B}{\omega^4}.$$ Положительная мнимая часть волнового вектора отвечает за экспоненциальное затухание амплитуды напряжения от звена к звену, а действительная — за сдвиг фаз амплитуд напряжений звеньев: \[ V_{n+1} = V_n e^{-\mathfrak{I} (q)} e^{i \mathfrak{R} (q)}. \]
Подключите генератор к J2, соединив его землю с контактом GND. С помощью контактов, обозначенных J5, измеряйте напряжение на соответствующих звеньях цепи для определения волнового вектора $q$.
Полученные зависимости позволяют получить дисперсионное соотношение для данной цепи. Используя мнимую $\Im(q)$ и действительную $\Re(q)$ части $q$ можно определить $\cos{q}$, который будет являться комплексным числом, определяемым параметрами системы и циклической частотой $\omega$.
\[\cos{q}=\cos{\Re(q)} \cosh{\Im(q)}-i\sin{\Re(q)}\sinh{\Im(q)}.\]Поскольку почти на всем диапазоне измерений либо мнимая, либо действительная часть $q$ равны нулю, мнимой частью $\cos{q}$ далее будем пренебрегать.
В части A задачи мы не учитывали отражённую волну, которая тоже может распространяться в цепи. Однако при больших частотах волна, бегущая от генератора, практически не затухает, поэтому пренебрегать отражённой волной нельзя.
Рассмотрим цепь, которая слева подключена к генератору и имеет $N$ звеньев (см. рис. 5). Обозначим волну, бегущую вправо, индексом $r$ (именно она исследовалась в части A), влево — индексом $l$, тогда напряжения в этих волнах зависит от номера звена $n$ и времени $t$, как
$$V_r(n,t) = V_{0r}e^{-i\omega t+iqn},$$ $$V_l(n,t) = V_{0l}e^{-i\omega t-iqn}.$$ Таким образом, все уравнения, записанные для бегущей вправо волны, аналогичны уравнениям для бегущей влево волны с заменой $q \rightarrow -q$. Токи в каждой из волн (см. рис. 4) связаны с напряжением через импеданс
$$z_r = \frac{V_r(n,t)}{I_r(n,t)},\quad z_l = \frac{V_l(n,t)}{I_l(n,t)}.$$
Полным импедансом цепи называется величина $$z = \frac{V(0,t)}{I(0,t)}.$$
Далее считайте, что $\omega \gg \dfrac{1}{\sqrt{LC_1}}, \dfrac{1}{\sqrt{LC_2}}$.
К контакту GND подключите землю генератора, «плюс» генератора соедините через резистор с контактом J2. На плате вы получите цепь, состоящую из $N$ звеньев, изображенную на рис. 4. Измеряя напряжение на резисторе, вы можете получить силу тока в цепи, измеряя напряжение на контактах J2-GND – напряжение в цепи. Таким образом, можно определить импеданс цепи.
Примечание. Вы можете обратить внимание, что в реальной цепи есть ещё одна катушка, подключенная параллельно звеньям. Однако её существование не влияет на положение максимумов модуля импеданса, поэтому при решении задачи её можно не учитывать.
Зависимость импеданса от частоты не будет являться симметричной относительно замены $C_1$ на $C_2$ и $C_2$ на $C_1$. В одном из случаев будет наблюдаться резкий минимум импеданса, в другом — максимум. В этой части вам предстоит измерить зависимость импеданса от частоты для разных отношений емкостей конденсаторов.
К контакту GND подключите землю генератора, «плюс» генератора соедините через резистор с контактом J2. Соедините контакт GND c контактом J1 (иначе характерный вид зависимости будет неправильный!). На плате вы получите цепь, состоящую из $N$ звеньев, изображенную на рис. 5 и подключенный параллельно ей конденсатор с емкостью $C_2$. Измеряя напряжение на резисторе, вы можете получить силу тока в цепи, измеряя напряжение на контактах J2-GND – напряжение в цепи. Таким образом, можно определить импеданс цепи. Таким образом можно определить импеданс цепи для отношения емкостей в цепи $C_1/C_2$.
Теперь необходимо измерить зависимость импеданса от частоты для другого отношения емкостей. Для этого необходимо подключиться к противоположному концу цепи.
К контакту GND подключите землю генератора, «плюс» генератора соедините через резистор с контактом J4. Соедините контакт GND c контактом J3 (иначе характерный вид зависимости будет неправильный!). На плате вы получите цепь, состоящую из $N$ звеньев, изображенную на рис. 5 и подключенный параллельно ей конденсатор с емкостью $C_1$. Измеряя напряжение на резисторе, вы можете получить силу тока в цепи, измеряя напряжение на контактах J4-GND – напряжение в цепи. Таким образом, можно определить импеданс цепи. Таким образом можно определить импеданс цепи для отношения емкостей в цепи $C_2/C_1$.
Характерным временем жизни сигнала будем называть время, за которое амплитуда сигнала уменьшается в $e$ раз.
Время жизни сигнала при возбуждении колебаний в цепи зависит от отношения емкостей конденсаторов. В одном из случаев бесконечная цепочка не будет пропускать входящий сигнал (т.е. LC-цепочка обладает маленькой добротностью), в другом случае сигнал пропускается хорошо (т.е. LC-цепочка обладает высокой добротностью).
Чтобы можно было качественно измерить затухания сигнала необходимо проводить измерения при максимальном импедансе цепи, когда амплитуда проходящей в цепь волны минимальна. Максимум импеданса достигается при частоте соответствующей максимуму комплексной составляющей волнового вектора. Резонансная частота $f_{rez}$ должна лежать в диапазоне $[900; 1300] ~\text{кГц}$.
Время жизни сигнала будет зависеть от отношения емкостей в цепи. Изменить отношение емкостей можно заменив в цепи конденсаторы $C_1$ на $C_2$, а конденсаторы $C_2$ на $C_1$. На картинке представлены две схемы с разным отношением емкостей конденсаторов.
Для проведения измерений в части D подключайтесь к цепи аналогично пунктам C1 и C2.