В полупространстве создано вертикальное однородное магнитное поле с индукцией $B$. На гладкой горизонтальной плоскости, касаясь границы области, с магнитным полем, лежит жёсткое непроводящее тонкое кольцо массой $m$ и радиусом $R$. Кольцо равномерно заряжено с линейной плотностью заряда $\lambda$. Кольцу сообщают некоторую начальную скорость, вектор которой горизонтален и перпендикулярен границе области с магнитным полем, при этом до пересечения области с магнитным полем кольцо двигается поступательно.

1 Пусть начальная скорость кольца такова, что оно полностью оказалось в магнитном поле. Определите угловую скорость вращения кольца сразу после этого.

A S

2 Определите минимальное значение начальной скорости $v_{\min}$, при которой кольцо целиком окажется в области магнитного поля.

A S

Сообщим кольцу скорость $v_0>v_{\min}$.

3 Определите угол $\theta$, который будет составлять вектор скорости центра кольца с границей области магнитного поля сразу после того, как кольцо полностью пересечёт границу.

A S

4 Определите максимальное расстояние $y_{\max}$ от границы, на которое удалится центр кольца.

A S

Примечание.
При решении задачи вам может потребоваться вычислить следующий интеграл:

$$\int{\arccos z\,dz} =z\arccos z -\sqrt{1 - z^2} + \operatorname{const} .$$