Если бутылка заполнена жидкостью с растворенным внутри газом, после открытия бутылки газ начнет испаряться из раствора и в жидкости будут образовываться пузыри. Мы исследуем их поведение и оценим количество пузырей, которые могут образоваться на поверхности жидкости, налитой в сосуд.
Вам может потребоваться следующая информация:
Плотность жидкости $\rho = 1.0 \cdot 10^3 ~\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$;
коэффициент поверхностного натяжения жидкости $\gamma = 0.05$ Н/м;
во всей задаче температуру можно считать постоянной и равной $T = 300~ \text{К}$;
вязкость жидкости $\eta = 1.63 \cdot 10^{-3}~\text{Па}\cdot \text{с}$;
атмосферное давление $P_0 = 10^5$ Па;
универсальная газовая постоянная $R_G = 8.3 ~\frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$;
постоянная Больцмана $k_B = 1.38 \cdot 10^{-23}~ \text{Дж} / \text{К}$.
Молярная концентрация насыщенного раствора газа $c$ и его парциальное давление над жидкостью $P$ связаны законом Генри $c = k_H P$. Для углекислого газа в условиях задачи можно считать
$$
k_H = 3.64 \cdot 10^{-4} ~\frac{\text{моль}}{\text{м}^3 \cdot \text{Па}}
$$
В дальнейшем в задаче нам потребуется изучать диффузию растворенного в жидкости газа. Явление диффузии состоит в том, что если концентрация $n$ молекул в одной из областей газа выше, чем в соседней, возникнет поток молекул из области с большей концентрацией. Пусть концентрация зависит от одной из координат, например $z$. Тогда поток молекул в направлении оси $z$ (среднее число молекул, проходящих за единицу времени через единицу площади, перпендикулярной оси $z$) будет равен
$$
j = -B \frac{dn}{dz},
$$
где постоянная $B$ — коэффициент диффузии ($\text{м}^2/\text{с}$).
Для оценки коэффициента диффузии можно использовать следующую идею. Если на молекулу в веществе действует постоянная сила $F$, то она движется со средней скоростью $v = \beta F$, где коэффициент $\beta$ (подвижность), можно оценить, считая, что на молекулу действует вязкая сила, описывающаяся формулой Стокса $F = 6 \pi \eta rv$. Молекулу можно считать шаром радиусом радиуса $r \approx 10^{-10}~\text{м}$.
Если молекулы находятся в поле с потенциальной энергией $U = - F z$, ($z$ — координата) и на каждую из них действует сила $F$ в направлении оси $z$, то из термодинамики известно, что в равновесном состоянии концентрация молекул будет меняться как
$$n = n_0 e^{- U/k_BT}.$$
В равновесии поток частиц, возникающий за счет диффузии, должен компенсироваться потоком, создаваемым за счет действия силы $F$.
Пусть пузырь формируется на дефекте поверхности стекла, который имеет вид цилиндрического углубления, диаметр которого много меньше глубины. Пока пузырь находится на поверхности, он имеет вид части шара, причем угол между поверхностью шара и стеклом в точке соединения равен $\theta$.
Молярную концентрацию углекислого газа в жидкости обозначим $c$. Кроме этого, есть еще две характерных молярных концентрации: $c_i$ — концентрация углекислого газа, при котором раствор находится в равновесии с углекислым газом, давление которого равно атмосферному. $c_n$ — концентрация углекислого газа, при которой пузырьки перестают образовываться. Эти концентрации связаны неравенствами $c> c_n > c_i$.
Радиус пузыря увеличивается за счет диффузии углекислого газа, причем скорость увеличения количества вещества углекислого газа в пузыре имеет вид
$$
\frac{d\nu}{dt} = k S(c -c_i)
$$
Коэффициент $k = B /\kappa D $, где $B$ — коэффициент диффузии, $D$ — диаметр пузыря, $\kappa \approx 0.25$ — некоторый численный коэффициент. Величина $\kappa D$ — характерная длина, на которой меняется концентрация.
Площадь поверхности участка сферы $S = f_1(\theta)D^2$, объем $V = f_2(\theta) D^3$.
В этой части мы рассмотрим движение всплывающий пузырьков и оценим общее количество пузырьков, которые могут образоваться на поверхности жидкости. Жидкость налита в цилиндрический сосуд, объем жидкости $V_L$. Плотность жидкости равна $\rho_L$. Везде в этой части можно пренебречь влиянием поверхностного натяжения и столба жидкости на давление внутри пузыря.
Когда пузырь всплывает, его радиус растет за счет попадающего из жидкости углекислого газа. После отрыва от поверхности он имеет вид шара. Давление внутри пузыря $P$ и температуру $T$ можно считать постоянными.
Считайте, что количество молей, которые попадают в пузырь в единицу времени, прямо пропорционально площади $S$ поверхности пузыря $d\nu/dt =K \Delta c S$.
Здесь $\Delta c$ разность молярных концентраций вдали от пузырька и на его поверхности, причем концентрация на поверхности такова, что растворенный в жидкости газ находится в равновесии с газом в пузыре. Коэффициент $K$ можно выразить через коэффициент диффузии $B$ и параметры пузыря
$$
K = 0.63 \frac{B^{2/3} U^{1/3}}{a^{2/3}}.
$$
Найдите также численное значение. Используйте данные $c=100~\text{моль}/\text{м}^3$, $c_n = 50~\text{моль}/\text{м}^3 $, $V_L = 0.5$ литра, диаметр сосуда $\xi = 6$ см.
Считайте, что концентрация вблизи поверхности пузырька такая, что газ углекислый газ в пузырьки находится в равновесии с растворенным в жидкости. Все пузыри всплывают со дна сосуда, а их начальный радиус равен нулю. Изменением концентрации за время от образования пузырька до того, как он достигнет поверхности, можно пренебречь.