A1  ^0.80 Пусть общее число молей газа углекислого газа в закрытой бутылке $\nu_0 = 0.05$ моль, объем жидкости $V_L =250$ мл, объем газа $V_G = 5$ мл. Найдите давление $P$ углекислого газа в бутылке. Приведите также численное значение. \textbf{В дальнейших пунктах считайте, что жидкость находится в открытом сосуде.}

Пусть $\nu_G$ — количество вещества углекислого газа в газообразной форме, $\nu_L$ — в растворе.
Количество вещества в газе можно выразить через давление с помощью уравнения состояния идеального газа. Концентрация углекислого газа в растворе выражается через давление с помощью закона Генри, тогда получаем уравнение
$$
\nu_0 = \nu _G + \nu _L = \frac{PV_G}{RT} + cV_L = P\left( \frac{V_G}{RT} + k_H V_L\right),
$$
из которого давление
$$
P = \frac{\nu_0 R T}{V_G + k_H V_L RT}.
$$

A2  ^0.70 Пузырь с углекислым газом сможет образоваться, только если давление углекислого газа в нем сможет уравновесить давление, создаваемое силами поверхностного натяжения. Найдите минимальный радиус пузырька $R^*$, который сможет образоваться. Выразите ответ через молярную концентрацию газа в жидкости $c$, атмосферное давление $P_0$, а также физические постоянные, характеризующие жидкость. Чему равна концентрация $c$, если критический радиус $R^* = 1.5 \cdot 10^{-6}$ м?

Давление углекислого газа в пузырьке должно уравновешивать внешнее давление (которое считаем равным атмосферному давлению $P_0$) и добавку за счет поверхностного натяжения
$$
\frac{2 \gamma}{R^*} + P_0 = P_{CO_2} = \frac{c}{k_H}.
$$
У пузырька одна поверхность, поэтому поверхностное натяжение создает давление $2 \gamma/R$. Решая уравнение, получаем
$$
\frac{2 \gamma}{R^*} = \frac{c - k_H P_0}{k_H},\quad R^* = \frac{2 \gamma k_H}{c - k_H P_0}.
$$
Концентрацию можно рассчитать по формуле
$$
c = k_H\left( P_0+\frac{2 \gamma}{R^*}\right) \approx 61 \frac{моль}{м^3}.
$$

A3  ^1.00 Используя приведенные соображения, найдите коэффициент диффузии $B$. Выразите ответ через $k_B$, $T$, $\beta$. Определите подвижность молекул $\beta$ через вязкость $\eta$ и размер молекул. Найдите чиcленное значение коэффициента диффузии. \textbf{Если вам не удастся решить этот пункт, можете для получения численных ответов в дальнейшем использовать значение} $B = 5 \cdot 10^{-9} \text{м}^2/\text{с}$.

Средняя скорость движения частицы под действием силы $F_z=F$ равна $v= \beta F$, поэтому сила создает поток $j_z^F = n v = n \beta F$.
Концентрация зависит от координаты как
$$
n = n_0 e^{-U/kT} = n_0 e^{Fz/kT},
$$
поэтому диффузионный поток
$$
j_z^D = -B\frac{dn}{dz} = -\frac{B n_0 F}{kT} e^{Fz/kT} = - \frac{BnF}{kT}.
$$
В равновесии полный поток должен быть равен нулю:
$$
j_z = j_z^F + j_z^D = n \beta F - \frac{BnF}{kT}=0.
$$
Отсюда получаем коэффициент диффузии
$$
B= \beta k_B T.
$$
Если считать, что на молекулу действует сила вязкого трения $6 \pi \beta r v$, то подвижность определяется формулой
$$
\beta = \frac{1}{6 \pi \eta r}
$$
Тогда коэффициент диффузии
$$
B = \frac{k_B T}{6 \pi \eta r}.
$$

B1  ^1.00 Найдите, как диаметр $D$ пузыря зависит от времени. Начальный диаметр считайте приближенно равным нулю, ответ выразите через $f_1$, $f_2$, $c$, $c_i$, $R$, $T$,$P_0$. Давление в пузыре и температуру можно считать постоянными, вкладом поверхностного натяжения и давления столба жидкости в давление газа в пузыре можно пренебречь.

Выразим объем пузыря через количество вещества в нем
$$
V = \frac{RT}{P} \nu.
$$
Из формулы из условия получим скорость изменения объема
$$
\frac{dV}{dt} = \frac{RT}{P} \frac{d\nu}{dt} = \frac{RT}{P} k S (c-c_i).
$$
Подставим выражения через диаметр:
$$
3 D^2 f_2\frac{dD}{dt} = \frac{RT}{P} \frac{B}{\kappa D} f_1 D^2 (c-c_i)
$$
Отсюда получаем уравнение
$$
2D\frac{dD}{dt} = \frac{2f_1}{3\kappa f_2} \frac{RT}{P}B(c-c_i),
$$
в левой части которого стоит производная квадрата диаметра по времени.

B2  ^0.70 Найдите выражения для $f_1(\theta)$ и $f_2(\theta)$. Постройте (качественно) график отношения $f_1/f_2$ при $\theta \in (0,\,\pi/2)$.

Поверхность участка сферы равна произведению квадрата радиуса $D^2/4$ на телесный угол, под которым он виден из центра, поэтому
$$
f_1 = \frac{\pi }{2} \left(1 + \cos \theta \right)
$$
Объем части сферы можно найти как сумму объема шарового сектора, видимого под тем же телесным углом, и конуса. Получим
$$
f_2 = \frac{\pi}{24}\left(2 + 3\cos \theta - \cos^3 \theta \right)
$$

B3  ^0.30 Найдите радиус пузыря $R$, при котором он оторвется от поверхности. Считайте, что он крепится к поверхности по окружности радиуса $a_d \ll R$, угол между пузырьком и поверхностью равен $\theta$,

Сила поверхностного натяжения дожна уравновесить действующую на пузырь силу Архимеда
$$
2 \pi a_d \gamma \sin \theta = \frac{4 \pi}{3} \rho g R^3
$$

B4  ^0.80 После того, как пузырь оторвался от поверхности, вблизи нее остается участок жидкости с пониженной концентрацией растворенного углекислого газа. Из-за этого до того момента, когда в том же месте начнет формироваться следующий пузырь, должно пройти некоторое время $t_n$. Считайте, что концентрация углекислого газа понижена в области размера $D_m$, а глубина дефекта, которую нужно заполнить углекислым газом равна $h \ll D_m$. Зависимость концентрации от расстояния до поверхности линейная. Найдите время $t_n$, за которое пузырь, возникший на дне дефекта, вырастет до поверхности стекла. Концентрация вблизи дефекта равна минимальной концентрации $c_n$, при которой возможно существование пузырька, зависимость концентрации от расстояния можно считать линейной.

Из-за разности концентраций возникает поток углекислого газа
$$
j = B \frac{c - c_n}{D_m}.
$$
Заметим, что один и тот же коэффициент диффузии связывает как поток молекул с разностью концентраций, так и молярный поток с разность молярных концентраций, поскольку обычная и молярная концентрации пропорциональны друг другу.
Пусть площадь дефекта $S$. Объем пузыря связан с количеством вещества в нем
$$
V = \nu \frac{RT}{P}.
$$
Скорость изменения количества вещества в пузыре
$$
\frac{d\nu}{dt} = jS= \frac{c-c_n}{D_m}BS = \frac{P}{RT}\frac{dV}{dt} = \frac{PS}{RT} \frac{dh}{dt}
$$
Отсюда следует, что дефект заполняется с постоянной скоростью
$$
\frac{dh}{dt} = \frac{RT}{P} B\frac{c - c_n}{D_m},
$$
и время формирования пузыря
$$
t_n = \frac{P}{RT} \frac{h D_m}{B(c-c_n)}.
$$

B5  ^0.70 Пусть $t_g$ — время, за который пузырь вырастает от края дефекта до своего максимального диаметра $D_m$. При изменении концентрации углекислого газа в жидкости это время, как и время формирования пузыря $t_n$ могут меняться. В каких координатах зависимость $t_g$ от $t_n$ будет иметь линейный вид?

Время роста пузыря до максимального диаметра можно найти из результатов пункта B1:
$$
t_g = \frac{D_m^2}{K_1(c-c_i)},
$$
где $K_1$ — некоторая постоянная, не зависящая от концентраций. $D_m$ определяется в основном равновесием сил поверхностного натяжения и силы Архимеда, поэтому также не зависит от концентрации.
Тогда зависимости обратных времен от концентрации углекислого газа в растворе линейны:
$$
\frac{1}{t_g} \sim c-c_i, \quad \frac{1}{t_n} \sim c - c_n.
$$
Поэтому зависимость между самими обратными временами также должна быть линейной.

C1  ^0.40 Скорость всплывания пузырька определяется действующей на него силой вязкого трения, которую можно рассчитать по формуле Стокса $F = 6 \pi \eta aU$, где $a$ — радиус пузырька, $U$ — скорость пузырька, $\eta$ — вязкость жидкости. Найдите скорость всплывания пузырька радиуса $a$.

Считаем, что скорость пузыря устанавливается достаточно быстро. Тогда она определяется равновесием между силой вязкого трения и силой Архимеда
$$
\rho g \frac{4 \pi}{3} a^3 = 6 \pi \eta a U.
$$
Отсюда скорость
$$
U = \frac{2 \rho g}{9 \eta}a^2.
$$

C2  ^0.60 Найдите скорость изменения радиуса пузырька $da/dt$. Выразите ответ через $a$, разность концентраций $\Delta c$, температуру $T$, атмосферное давление $P_0$, $\Delta c$ и физические постоянные.

Найдем значение коэффициента $K$ для пузырька:
$$
K = 0.63 B^{2/3} \frac{U^{1/3}}{a^{2/3}} = 0.63 B^{2/3} \left(\frac{2 \rho g}{9 \eta}\right)^{1/3} = 0.38 B^{2/3} \left(\frac{ \rho g}{ \eta}\right)^{1/3}.
$$
Оказывается, оно не зависит от радиуса.
Аналогично части B свяжем выразим скорость изменения объема:
$$
\frac{dV}{dt} = \frac{RT}{P} \frac{d\nu}{dt} = \frac{RT}{P} KS \Delta c.
$$
Изменение объема связано с изменением радиуса соотношением
$$
\frac{dV}{dt} = S \frac{da}{dt} = \frac{RT}{P} KS \Delta c,
$$
откуда
$$
\frac{da}{dt} = 0.38 B^{2/3} \left(\frac{ \rho g}{ \eta}\right)^{1/3} \frac{RT}{P} \Delta c = v.
$$
Эта скорость не зависит от радиуса пузырька.

C3  ^0.80 Пузырек всплывает со дна сосуда, начальный радиус $a_0$. Найдите его радиус $a$ и объем $V_b$ вблизи поверхности.

Запишем уравнение для роста радиуса пузырька
$$
\frac{da}{dt} = v,
$$
а также для движения пузырька ($h$ — высота подъема)
$$
\frac{d h}{dt} = U = \frac{2 \rho g}{9 \eta}a^2.
$$
Отсюда
$$
\frac{da}{dh} = \frac{1}{a^2} \frac{9 \eta v}{2 \rho g}.
$$
Интегрируя, получаем
$$
a^3 = \frac{27 \eta v}{2 \rho g} h + a^3_0.
$$

С4  ^1.50 Пузырьки будут образовываться, пока концентрация углекислого газа в жидкости не упадет от начального значения $c$ до некоторого критического значения $c_n$, при котором пузыри перестанут образовываться. Найдите общее число пузырей $N$, которые смогут появиться за все время. Выразите ответ через объем жидкости $V_L$, ее глубину $h$, начальную и конечную концентрации углекислого газа и постоянные, характеризующие жидкость и газ.

Найдите также численное значение. Используйте данные $c=100 \text{моль}/\text{м}^3$, $c_n = 50 \text{моль}/\text{м}^3 $, $V_L = 0.5$ литра, диаметр сосуда $\xi = 6$ см.


Считайте, что концентрация вблизи поверхности пузырька такая, что газ углекислый газ в пузырьки находится в равновесии с растворенным в жидкости. Все пузыри всплывают со дна сосуда, а их начальный радиус равен нулю. Изменением концентрации за время от образования пузырька до того, как он достигнет поверхности, можно пренебречь.

С каждым пузырьком из жидкости выходит количество вещества углекислого газа
$$
\nu_b = 10.7 \left( \frac{B \eta}{\rho g}\right)^{2/3} h \Delta c.
$$
Его можно получить, умножив объем пузырька на $P/RT$.
Разность концентраций вблизи пузырька и в объеме жидкости
$$
\Delta c = c - k_hP_0
$$
Изменение концентрации углекислого газа в жидкости при выходе одного пузырька
$$
dc =- \frac{\nu _b}{V_L}.
$$
Число вышедших пузырьков связано с изменением концентрации соотношением
$$
dN = -\frac{dc V_L}{\nu_b} =- 0.093\left( \frac{\rho g }{B \eta} \right)^{2/3} \frac{V_L}{h}\frac{dc}{c - k_H P_0}
$$
Интегрируя, находим число пузырьков
$$
N = 0.093\left( \frac{\rho g }{B \eta} \right)^{2/3} \frac{V_L}{h} \ln \frac{c - k_H P_0}{c_n - k_H P_0} \approx 1.1 \cdot 10^7
$$
Численное значение приведено для правильного коэффициента диффузии. Для приближенного значения $5 \cdot 10^{-9} м^2/с$ получим $N \approx 4.6 \cdot 10^6$.

C5  ^0.70 Предположим, что все образовавшиеся в процессе пузырьки не разрушаются, а их размеры равны размерам пузырьков, достигающих поверхности жидкости при конечной концентрации углекислого газа. Пена какой высоты $H$ образуется на поверхности жидкости?

Высота пены связана с объемом пузырей соотношением $H = V/S$, где объем пены $V=V_b N$. Объем пузыря, отвечающий конечному значению концентрации
$$
V_b = 10.7 \left( \frac{B \eta}{\rho g}\right)^{2/3} h (c_n - k_H P_0) \frac{RT}{P},
$$
объем пены
$$
V = \frac{\pi \xi^2}{4} h(c_n - k_H P_0) \frac{RT}{P} \ln \frac{c - k_H P_0}{c_n - k_H P_0} ,
$$
а значит ее высота
$$
H = \frac{RT}{P} (c_n - k_H P_0) h \ln \frac{c - k_H P_0}{c_n - k_H P_0} \approx 0.53 h.
$$
Здесь используется высота столба жидкости $h = V/(\pi \xi^2/4) \approx 17.7 см $.