Logo
Logo

"Электро-статические" аналогии

Задачи
Корзина недоступна
Чтобы пользоваться корзиной для создания наборов задач, авторизуйтесь.

Условие

Закон Ома описывает линейную зависимость между силой тока $I$ на участке электрической цепи и электрическим напряжением $U$ на этом участке: $I=\frac{1}R⋅U$, где $R$ – электрическое сопротивление данного участка.

Аналогично записывается закон Гука, согласно которому сила упругости $F$, возникающая при деформации упругого тела (пружины, стержня и т.д.), пропорциональна изменению длины тела $\Delta l$: $F=k⋅\Delta l$, где $k$ –- коэффициент упругости (жесткости) тела. Если $F>0$ ($\Delta l>0$), пружина является растянутой. Если $F<0$ ($\Delta l<0$), то пружина сжата.

Рассмотрим участок электрической цепи, состоящий из трех резисторов с сопротивлениями $R_1$, $R_2$, $R_3$ (см. рис. 1). Для узла $B$ запишем соотношение для сил токов: $I_1=I_2+I_3$. Также общее напряжение $U_0$ между точками $A$ и $C$ равно сумме напряжений: $U_0=U_1+U_2=U_1+U_3$.
Рис .1

Аналогичный вид имеет механическая система, состоящая из трех легких пружин с коэффициентами жесткости $k_1$, $k_2$ и $k_3$, подвешенная к потолку (см. рис. 2). Считайте, что изначально в системе пружины не деформированы. Из условия равновесия для точки $B$ можно записать: $F_1=F_2+F_3$, где $F_1$, $F_2$ и $F_3$ –- силы упругости в соответствующих пружинах. Суммарную деформацию всей системы $\Delta l_0$ можно представить как сумму деформаций: $\Delta l_0=\Delta l_1+\Delta l_2=\Delta l_1+\Delta l_3$, где $\Delta l_1$, $\Delta l_2$ и $\Delta l_3$ –- деформации соответствующих пружин.
Рис. 2

В дальнейшем при решении во всех частях задачи считайте, что элементы, которые соединяют пружины, легкие, недеформируемые и параметры системы подобраны так, что эти элементы не поворачиваются под нагрузкой (например, движутся вдоль гладких вертикальных направляющих), пружины при любых деформациях остаются вертикальными и никогда не оказываются сжатыми настолько, что витки плотно прижаты друг к другу.

Часть А. "Простая" система (2 балла)

Уравнения, описывающие электрическую цепь и механическую систему, аналогичны. Например, обратная жесткость пружины $1/k$ в механической системе является величиной, аналогичной электрическому сопротивлению $R$ в электрической цепи.

A1 К точке $C$ (рис. 2) приложена сила $F_1$, направленная вертикально вниз. Чему равна деформация $\Delta l_2$ пружины с коэффициентом жесткости $k_2$ в этом случае? Ответ выразите через величины $k_1$, $k_2$, $k_3$ и $F_1$.

A2 Определите эффективный коэффициент жесткости $k_0$ системы пружин $AC$, представленной на рис. 2. Ответ выразите через величины $k_1$, $k_2$ и $k_3$.

Примечание. Эффективным коэффициентом жесткости системы в данном случае называется отношение модуля силы, приложенной к точке $C$, к модулю перемещения точки приложения этой силы. 

Часть B. "Симметричная" система (3.5 балла)

Система, показанная на рис. 3, состоит из одинаковых легких пружин с коэффициентами жесткости $k$. Пружины изначально не деформированы.
Рис. 3

B1 Определите эффективную жесткость $k_E$ системы, если прикладывать к точке $E$ силу, направленную вертикально вниз. Ответ необходимо выразить через величину $k$.

B2 Определите эффективную жесткость $k_Y$ системы, если прикладывать к точке $Y$ силу, направленную вертикально вниз. Ответ необходимо выразить через величину $k$. 

Часть C. "Бесконечная" система (4.5 балла)

Система, показанная на рис. 4, состоит из бесконечного числа легких пружин с одинаковыми коэффициентами жесткости $k$. Пружины изначально не деформированы.
Рис. 4

C1 Определите эффективную жесткость $k_\infty$ системы, если прикладывать к точке $H$ силу, направленную вертикально вниз. Ответ необходимо выразить через величину $k$.

C2 Определите деформацию $\Delta l_x$ пружины «$x$», если к точкам $G$ и $H$ приложить две одинаковые силы $F$, направленные вертикально вниз. Ответ необходимо выразить через величины $F$ и $k$.