Датский астроном О. Рёмер изучал затмения спутника Юпитера Ио задолго до того, как учёные научились точно измерять скорость света. Он смог определить скорость света по наблюдаемым периодам обращения Ио. Рёмер наблюдал время между последовательными появлениями Ио из-за тени Юпитера.

На рисунке показаны орбита Земли $E$ вокруг Солнца $S$ и орбита Ио (он обозначен за $M$) вокруг планеты Юпитер. Длительная серия наблюдений затмений позволила точно определить период обращения $T_0=42~ч~28~мин~16~с$ спутника $M$.

Среднее расстояние от Земли $E$ до Солнца $R_E=149.6 \cdot 10^6~км$. Период обращения Земли $T_E=365~суток$, Юпитера — $T_J=11.86~лет$. Расстояние от спутника $M$ до планеты Юпитер $R_M=422 \cdot 10^3~км$

A1 Найдите радиус орбиты $R_J$ Юпитера. Найдите отношение массы Юпитера $M_J$ к массе Солнца $M_S$.

A S

A2 Спутник $M$, вращаясь вокруг Юпитера, периодически входит и выходит из его тени. Выразите период $T_\text{real}$ между последовательными выходами спутника из тени Юпитера через $T_J$ и $T_0$.

A S

A3 Перейдите в новую систему отсчёта ($SJ$), в которой Юпитер покоится относительно Солнца. Определите относительную угловую скорость $\omega$ Земли в системе отсчёта $SJ$. Вычислите скорость Земли в системе отсчета $SJ$.

A S

Из-за конечности скорости света наблюдаемый с Земли период $T_\text{obs}$ между последовательными выходами $M$ из тени отличается от $T_\text{real}$. Yаблюдатель зафиксировал момент, когда $M$ начал выходить из тени, в момент времени $t$, находясь в положении $\theta$, а следующий выход из тени в момент времени $t+T_\text{obs}$ в положении $\theta + \Delta \theta$. Будем считать, что $\theta=0$ для $t=0$.

A4 Выведите расстояние от Юпитера до Земли $d$ как функцию времени, и упростите его с помощью приближений.

A S

A5 Получите период $T_\text{obs}$ как функцию времени $t$. Постройте качественный график $T_\text{obs}$ как функции времени $t$. Найдите положения Земли, при которых наблюдались максимальный период, минимальный период и истинный период обращения спутника $M$.

A S

Разность между максимальным и минимальным значениями $T_\text{obs}$ составляет $\Delta T=30~с$.

A6 Оцените скорость света по предоставленным данным.

A S