Pho.rs: Бензобак и трансмиссия

Условие

А. Датчик уровня топлива

B. Трансмиссия

English

Данная задача посвящена физике некоторых устройств внутри автомобиля

Часть А. Датчик уровня топлива (3.2 балла)

Рассмотрим бензобак, который представляет из себя куб со стороной $a$. В бензобак налито топливо и высота его уровня равна $h$. Внутри куба зафиксирован вертикальный проводящий стержень с поплавком. Поплавок находится в электрическом контакте со стержнем и подключен проводом к внешней цепи, состоящей из резистора сопротивлением $R_0$ и батарейки с ЭДС $\mathcal{E}$.

Сопротивление единицы длины стержня равно $\lambda$, сопротивлением поплавка пренебрегайте. Соединительные провода изолированы.

A1 Запишите формулу, по которой можно вычислить объем топлива в бензобаке $V$ зная показания вольтметра $U_1$ и константы $R_0$, $\lambda$, $\mathcal{E}$ и $a$

При такой конструкции формула пересчета оказывается удобной, однако если сопротивление резистора $R_0$ и величина $\lambda$ меняются с температурой по-разному, то показания зависят от температуры. Поэтому предлагается более сложная схема с двумя резисторами $R_1$ и $R_2$ изготовленными из одного материала.

A2 Запишите формулу, по которой можно вычислить объем топлива в бензобаке $V$ зная напряжение $U_2$ и константы $R_1/R_2$, $\mathcal{E}$ и $a$

В ходе эксплуатации автомобиля в расчетной формуле топливомера сбилось значение $R_1/R_2$ и стало равным единице. Ниже предложен график зависимости показаний сбитого топливомера $V$ от времени при равномерном заполнении бензобака от пустого до полного.

A3 Чему равен объем бензобака $V_0$? Чему равно значение $R_1/R_2$, которое нужно установить в топливомере, чтобы он правильно рассчитывал объем топлива?

Часть B. Трансмиссия (6.8 баллов)

В этой части мы рассмотрим принцип работы трансмиссии, которая выступает механической связью между двигателем автомобиля и его колесами. Ось двигателя назовем $E$, ее угловую скорость вращения $\omega$, ось колеса $W$. Для простоты будем считать, что у автомобиля есть только одно колесо радиуса $r$, которое никогда не проскальзывает.

Будем считать, что двигатель непрерывно работает и потребляет топливо. При этом в результате сгорания топлива выделяется теплота $P_0$. КПД двигателя $\eta$ зависит от угловой скорости вращения его оси:
\[
\eta =
\begin{cases}
\alpha \dfrac{\omega}{\omega_0} \left( 1 - \dfrac{\omega}{\omega_0} \right) &,\omega < \omega_0 \\
0&,\omega \geq \omega_0
\end{cases}
\]

B1 Постройте качественный график зависимости $\eta $ от $\omega$

Во всех дальнейших вопросах мы рассматриваем случай $\omega < \omega_0$.

B2 Покажите, что если ось двигателя крутится с частотой $\omega$ и на нее действует внешний момент $M$, то механическая мощность двигателя равна $\omega M$

B3 Выразите вращающий момент двигателя $M$ через $P_0$, $\alpha$, $\omega$ и $\omega_0$.

Радиус шестеренки на валу двигателя равен $R_E$, а радиус шестеренки на оси колеса равен $R_W$. Обозначим $R_E/R_W=k$. Считайте, что трения в осях нет.

B4 Чему равна угловая скорость вращения колеса $\omega_W$ и вращающий момент $M_W$ действующий на колесо со стороны его оси $W$? Ответ выразите через $k$, $\omega$ и $M$.

При движении со скоростью $v$ на автомобиль со стороны окружающей среды действует сила сопротивления $-\beta v$. С включенным двигателем автомобиль какое-то время разгоняется и достигает своей установившейся скорости.

B5 Найдите установившуюся скорость $v$, с которой едет автомобиль с включенным двигателем. Ответ выразите через $P_0$, $\alpha$, $k$, $r$, $\omega_0$ и $\beta$. Постройте качественный график зависимости $v$ от $k$.

B6 При каком $k=k_\text{max}$ скорость автомобиля максимальна? Ответ выразите через $\alpha$, $P_0$, $\beta$, $r$ и $\omega_0$.