1  ^?? Найдите заряды $\Delta q_1$ и $\Delta q_{100}$, которые при этом перетекут с первой и сотой пластин в землю соответственно.

Поскольку каждая пластина представляет собой проводник, и поле внутри него должно быть $=0$, то заряд на правой стороне $i$-той пластины должен быть равен по величине и противоположен по знаку заряду на левой стороне $i+1$-ой пластины. Более того, заряд на левой стороне первой пластины $=0$, как и заряд на правой стороне сотой пластины. Отсюда получаем систему уравнений:\[\begin{cases}
Q_{1l}=0 & Q_{1r}=-Q_0 \\
Q_{2l}=Q_0 & Q_{2r}=-Q_0+q_2 \\
Q_{3l}=Q_0-q_2 & Q_{3r}=-Q_0+q_2+q_3 \\
\vdots & \vdots \\
Q_{nl}=Q_0-q_2-q_3-\ldots-q_{n-1} & Q_{nr}=-Q_0+q_2+q_3+\ldots+q_n \\
\vdots & \vdots \\
Q_{99l}=Q_0-q_2-q_3-\ldots-q_{98} & Q_{99r}=-Q_0+q_2+q_3+\ldots+q_{99} \\
Q_{100l}=Q_0-q_2-q_3-\ldots-q_{99} & Q_{100r}=0
\end{cases}\]Здесь $Q_0$ — некоторый заряд, который ещё предстоит найти. Ёмкость конденсатора, образованного двумя соседними пластинами, равна $C=L^2/4\pi kd$. Если обозначить потенциал $i$-той пластины как $U_i$, получим систему:\[\begin{cases}
U_2-U_1=Q_{2l}/C \\
U_3-U_2=Q_{3l}/C \\
\vdots \\
U_n-U_{n-1}=Q_{nl}/C \\
\end{cases}\]Отсюда «очевидно, что»\[CU_n=Q_{2l}+Q_{3l}+\ldots+Q_{nl}=(n-1)Q_0-(n-2)q_2-(n-3)q_3-\ldots-[n-(n-1)]q_{n-1}=\]\[=(n-1)Q_0-\left[\frac{n(n+1)(n-2)}2-\frac{(n-1)n(2n-1)}6+1\right]q_1.\]Поскольку $U_{100}=0$, получим $Q_0=5047q_1/3$. Таким образом,\[\Delta q_1=q_1-(Q_{1l}+Q_{1r})=q_1+Q_0=5050q_1/3,\\\Delta q_{100}=q_{100}-(Q_{100l}+Q_{100r})=q_{100}-(Q_0-q_2-q_3-\ldots-q_{99})=10100q_1/3.\]

2  ^?? Найдите номер $n_{max}$, который имеет пластина с наибольшим потенциалом, и найдите его значение $U_{max}$.

Пластина, на которой достигается максимум потенциала, должна иметь положительный заряд на обеих сторонах, т.е. нам нужно решить систему:\[\begin{cases}Q_{nl} > 0\\Q_{nr} > 0\end{cases}\implies\begin{cases}Q_0-q_2-q_3-\ldots-q_{n-1} > 0\\-Q_0+q_2+q_3+\ldots+q_n > 0\end{cases}\implies\begin{cases}2047q_1/3-\frac12(n+1)(n-2)q_1 > 0\\-2047q_1/3+\frac12(n+2)(n-1)q_1 > 0\end{cases}\]\[\implies57.5 < n < 58.5\implies \]

Подставим явное выражение для ёмкости $C$, чтобы найти её потенциал:\[U_\text{max}=U_{58}=\frac{4\pi kd}{L^2}\left[57Q_0-(58\cdot59\cdot56/2-57\cdot58\cdot115/6)q_1 \right]\implies\]