1  ^?? В рамках релятивистской механики покажите, что, когда фотон сталкивается с покоящимся в лабораторной системе отсчёта электроном в вакууме, энергия фотона не может быть полностью поглощена электроном.

Предположим противное, что энергия фотона при столкновении была полностью поглощена электроном. Тогда для скорости $v$ электрона после столкновения из закона сохранения импульса получим\[\frac{h\nu}{c}=\frac{m_0v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}},\]а тогда его энергия будет равна\[E=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}=\sqrt{m_0^2c^4+h^2\nu^2}.\]Эта же величина, полученная из закона сохранения энергии, равна\[E_0=h\nu+m_0c^2,\]но тогда\[E^2-E_0^2=\left(m_0^2c^4+h^2\nu^2\right)-(h\nu+m_0c^2)^2=-2h\nu m_0c^2\neq0.\]Значит, предположение неверно, что и требовалось доказать.

2  ^?? Покажите, что, когда фотон сталкивается с металлической поверхностью, его энергия может быть полностью поглощена. Какое условие на $\nu$ и $W$ должно выполняться для возникновения фотоэффекта?

Так как в этом случае электрон связан с металлом, его импульс не сохраняется, поэтому достаточно потребовать только сохранения энергии, а тогда скорость электрона после поглощения будет определяться однозначно, потому ничто не препятствует полному поглощению энергии. Рассмотрим условия возникновения фотоэффекта. Из закона сохранения энергии\[h\nu=\left[\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}-m_0c^2\right]+W,\]откуда\[h\nu\geq W.\]