Для начала рассмотрим способ определения положения спутника. На спутнике находятся источник электромагнитного излучения и очень точные атомные часы. Периодически спутник отправляет сигналы, содержащие информацию о времени отправления.
Наземная система наблюдения за спутником состоит из нескольких станций. Они определяют положение спутника, используя информацию о показания часов спутника, содержащуюся в его сигналах.
Рассмотрим систему из двух наблюдательных станций, $D_1$ и $D_2$, находящихся на одном меридиане. $D_1$ находится в Северном полушарии на широте $\theta$, а $D_2$ – в Южном полушарии на широте $-\theta$. В некоторый момент времени станции одновременно получили от спутника сигнал, имеющий задержку $\tau$.
Рассмотрим задачу предыдущего пункта при численных значениях $\theta=45^{\circ}$, $\tau=0.10~\text{с}$ и $\Delta\theta=\pm1.0''$, $\Delta\tau=\pm0.010~\text{мкс}$. При расчётах считайте Землю шаром с радиусом $R=6.38\cdot10^3~\text{км}$, скорость света в вакууме равной $c=2.998~\frac{\text{м}}{\text{с}}$, а ускорение свободного падения на поверхности Земли равным $g=9.81~\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$
Теперь рассмотрим задачу определения положения тел в пространстве с помощью спутников. Пусть сигналы спутников содержат не только время отправки, но и информацию о точном местоположении спутника в этот момент, при этом на принимающем сигналы теле часов нет.
В рамках специальной теории относительности движущиеся часы отстают от покоящихся, а в рамках общей теории относительности часы отстают в области гравитационного поля. В этой части задачи учтём оба эти эффекта. В начальный момент времени часы на спутнике и на наземной станции синхронизированы. Спутник движется вокруг Земли по круговой орбите на высоте $h=2,00\cdot10^4~\text{км}$.
В рамках ОТО отставание часов определяется множителем $\sqrt{1-\frac{2\phi}{c^2}}$, где $\phi$ – гравитационный потенциал.