Траектории спутников можно определять с помощью наземных наблюдательных станций. Зная траектории спутников, можно определять траектории других тел в космосе и на Земле. При решении данной задачи пренебрегайте вращением Земли вокруг своей оси и Солнца.

Для начала рассмотрим способ определения положения спутника. На спутнике находятся источник электромагнитного излучения и очень точные атомные часы. Периодически спутник отправляет сигналы, содержащие информацию о времени отправления.

Наземная система наблюдения за спутником состоит из нескольких станций. Они определяют положение спутника, используя информацию о показания часов спутника, содержащуюся в его сигналах.

1.1 Какое минимальное число $N_1$ наблюдательных станций необходимо, чтобы однозначно зафиксировать положение спутника?

Рассмотрим систему из двух наблюдательных станций, $D_1$ и $D_2$, находящихся на одном меридиане. $D_1$ находится в Северном полушарии на широте $\theta$, а $D_2$ – в Южном полушарии на широте $-\theta$. В некоторый момент времени станции одновременно получили от спутника сигнал, имеющий задержку $\tau$.

1.2.1 Найдите наибольшую возможную высоту $H$ спутника над поверхностью Земли в момент отправки сигнала.

1.2.2 Найдите погрешность определения высоты $\Delta H$, если погрешность широты $\theta$ составляет $\Delta\theta$.

1.3 Найдите погрешность определения высоты $\Delta H$, если погрешность определения задержки времени $\tau$ составляет $\Delta\tau$.

Рассмотрим задачу предыдущего пункта при численных значениях $\theta=45^{\circ}$, $\tau=0.10~\text{с}$ и $\Delta\theta=\pm1.0''$, $\Delta\tau=\pm0.010~\text{мкс}$. При расчётах считайте Землю шаром с радиусом $R=6.38\cdot10^3~\text{км}$, скорость света в вакууме равной $c=2.998~\frac{\text{м}}{\text{с}}$, а ускорение свободного падения на поверхности Земли равным $g=9.81~\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

2.1 Вычислите наибольшую высоту $H$ спутника над поверхностью Земли в километрах.

2.2 Вычислите погрешность определения высоты $\Delta H$, вызванную погрешностью определения $\theta$.

2.3 Вычислите погрешность определения высоты $\Delta H$, вызванную погрешностью определения $\tau$.

Теперь рассмотрим задачу определения положения тел в пространстве с помощью спутников. Пусть сигналы спутников содержат не только время отправки, но и информацию о точном местоположении спутника в этот момент, при этом на принимающем сигналы теле часов нет.

3 Пренебрегая релятивистскими эффектами, найдите, одновременные сигналы от какого минимального числа $N_2$ спутников должно принимать тело для однозначного определения времени и своего положения в пространстве.

В рамках специальной теории относительности движущиеся часы отстают от покоящихся, а в рамках общей теории относительности часы отстают в области гравитационного поля. В этой части задачи учтём оба эти эффекта. В начальный момент времени часы на спутнике и на наземной станции синхронизированы. Спутник движется вокруг Земли по круговой орбите на высоте $h=2,00\cdot10^4~\text{км}$.

4.1 Чему будет равна разница в показаниях $T-t$ часов на наземной станции и на спутнике в рамках СТО через $24~\text{ч}$? Для упрощения расчётов решайте задачу в приближении равномерного прямолинейного движения.

В рамках ОТО отставание часов определяется множителем $\sqrt{1-\frac{2\phi}{c^2}}$, где $\phi$ – гравитационный потенциал.

4.2 Найдите разницу в показаниях $t-T$ часов на спутнике и на наземной станции в рамках ОТО через $24~\text{ч}$.