1  ^?? Используя закон сохранения энергии, а также первый и второй законы Кеплера, найдите полную механическую энергию движения планеты $E$, площадь $S$, заметаемую в единицу времени, и период $T$ обращения планеты. Выразите ответы через $G$, $M$, $m$, $a$, $b$. Докажите третий закон Кеплера.

Скорость планеты обозначим буквой $v$, как показано на рисунке. Когда планета проходит точки перигелия $A$ и афелия $B$, $v$ и $r$ перпендикулярны друг другу, а заметаемые площади в единицу времени равны соответственно\[S_A=\frac{1}{2}r_Av_A=\frac{1}{2}\left(a-c\right)v_A,\\S_B=\frac{1}{2}r_Bv_B=\frac{1}{2}\left(a+c\right)v_B.\tag{1}\]
Из второго закона Кеплера следует, что $S_A=S_B$, поэтому\[v_B=v_a\frac{a-c}{a+c}.\tag{2}\]
Полная механическая энергия движения планеты $E$ равна сумме её кинетической и потенциальной энергий. В моменты прохождения перигелия и афелия соответственно:\[E_A=\frac{1}{2}mv_A^2-G\frac{mM}{r_A}=\frac{1}{2}mv_A^2-G\frac{mM}{a-c},\\E_B=\frac{1}{2}mv_B^2-G\frac{mM}{r_B}=\frac{1}{2}mv_B^2-G\frac{mM}{a+c}.\tag{3}\]
Из закона сохранения энергии $E_A=E_B$, поэтому\[\frac{1}{2}m\left(v_A^2-v_B^2\right)=GmM\left(\frac{1}{a-c}-\frac{1}{a+c}\right).\tag{4}\]
Из уравнений (2) и (4):\[v_A^2=\frac{GM}{a}\frac{a+c}{a-c},\ v_B^2=\frac{GM}{a}\frac{a-c}{a+c}.\tag{5}\]
Подставив этот результат в уравнение (3), получим выражение для механической энергии:\[E_A=E_B=E=-G\frac{mM}{2a}.\tag{6}\]
Из уравнений (5) и (1) получим выражение для площади, заметаемой в единицу времени:\[S_A=S_B=S=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{GM}{a}}.\tag{7}\]
Площадь эллипса равна $\pi ab$, поэтому период равен\[T=\frac{\pi ab}{S}=\frac{2\pi a\sqrt a}{\sqrt{GM}}.\tag{8}\]
Наконец, возводя обе части уравнения (8) в квадрат, получим третий закон Кеплера:\[T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3.\]