1  ^?? Найдите время $\tau$, необходимое для того, чтобы тело попало из точки $O$ в точку $C$, т.е. повернулось вокруг центра стола на $90^{\circ}$.

Запишем второй закон Ньютона для движущегося тела:
$$m\,d\vec v=-k\vec r dt,$$
где $\vec r$ — радиус-вектор, направленный к телу из точки $O$. Действительно, сила упругости направлена против него, а ее модуль равен $kr$, т.к. удлинение резинки равно $r$.
Уравнение выше можно переписать в виде:
$$m\,d(v_x \vec i + v_y \vec j)=-k\,(x\vec i + y\vec j) dt,$$
где ось $x$ направлена вдоль начального положения резинки, а ось $y$ — вдоль прямой $OC$. Запишем уравнение в проекциях на оси:
\begin{cases}
m\, dv_{x}=-k\, xdt \\
m\, dv_{y}=-k\, ydt,
\end{cases}
которые имеют решение:
\begin{cases}
x(t)=A_{x}\cos(\omega_{0}t+\varphi_{x}) \\
y(t)=A_{y}\cos(\omega_{0}t+\varphi_{y}),
\end{cases}
где $\omega_0 = \sqrt{k/m}$, а $A_x, A_y, \varphi_x$ и $\varphi_y$ — постоянные, определяемые начальными условиями.
Начальные условия для системы таковы: $x(0) = l$, $y(0) = 0$, $v_x(0)=0$, $v_y(0) = v_0$.
Откуда можно найти $A_x = l$, $\varphi_x = 0$, $A_y = \cfrac{v_0}{\omega_0}$, $\varphi_y = \cfrac{\pi}{2}$.
Таким образом движение тела задается координатами:
\begin{cases}
x(t) = l\,\cos\omega_0 t \\
y(t) = \cfrac{v_0}{\omega_0}\,\sin\omega_0 t.
\end{cases}
Ясно, что для ответа на вопрос требуется найти такое $\tau$, чтобы координата $x$ тела стала равной нулю. Это, очевидно, произойдет через четверть периода:
$$\tau=\cfrac{\pi}{2\omega_0}$$

2  ^?? Найдите скорость тела $v_C$ в точке $C$ и расстояние $OC$ от $C$ до точки $O$.

Зная уравнения движения в координатах, легко получить координату $y\ (=OC)$, в которой находится тело, проходя линию $OC$:
$$y(\tau)=v_0/\omega_0.$$
Аналогично найдем проекцию скорости на ось $x$ в этот же момент времени:
$$v_x(\tau)=\dot x(\tau)=-l\omega_0.$$
Проекция скорости на ось $y$ в этот момент, очевидно, равна нулю. Поэтому модуль скорости в точке $C$: $v_C=l\omega_0$.