1  ^?? Определите, при каком соотношении масс шайбы и горки это возможно.

Пусть $m$ и $M$ – массы шайбы и горки соответственно, $v_{0}$ – начальная скорость шайбы, $v_{1}$ и $v_{2}$ – проекции скоростей шайбы и горки на направление $\vec v_{0}$ после соскальзывания шайбы. Запишем законы сохранения импульса и энергии:
$$
mv_{0}=mv_{1}+Mv_{2}, \qquad (1)
\\
\frac{m v_{0}^{2}}{2}=\frac{mv_{1}^{2}}{2}+\frac{Mv_{2}^{2}}{2}. \quad (2)
$$
Из этих уравнений следует:
$$
v_{1}=\frac{m-M}{m+M}v_{0}, v_{2}=\frac{2m}{m+M}v_{0}. \quad (3)
$$
Шайба и горка после соскальзывания шайбы движутся с одинаковыми по модулю скоростями в противоположных направлениях $(v_{2}=-v_{1})$, следовательно, должно выполняться условие: $(m-M)=-2m$, откуда следует: $M=3m$.

2  ^?? Найдите отношение максимальной потенциальной энергии, которая была у шайбы во время подъёма на горку, к начальной кинетической энергии шайбы.

Рассмотрим теперь момент времени, когда шайба достигла максимальной высоты $H$. В этот момент скорости шайбы и горки одинаковы и равны $v$. Запишем для этого момента законы сохранения импульса и энергии:
$$
mv_{0}=(m+M)v,
\\
\frac{mv_{0}^{2}}{2}=mgH+\frac{m+M}{2}v^{2}. \quad (4)
$$
Решая совместно эти уравнения, получим:
$$
\frac{mv_{0}^{2}}{2} \left(1-\frac{m}{m+M}\right)=mgH, \quad (5)
$$
откуда
$$
\frac{mgH}{mv_{0}^{2} /2}=\frac{M}{m+M}=\frac{3}{4}. \quad (6)
$$