$1.$ (Графический способ) Допустим, что после того, как в составной цилиндр налили $V$ литров воды, высота столба воды оказалась равной $h$. Минимальная сила, необходимая для удержания заслонки в прижатом состоянии, равна:
$$
F=F_{0}+(\rho gS_{1}) \cdot H_{1},
$$
где $\rho$ – плотность воды, $g$ – ускорение свободного падения.
Зависимость $h(V)$ и $F(V)$ для каждого из отрезков труб линейна. для первой (нижней) трубы справедливо соотношение:
$$
\left(\frac{\Delta F}{\Delta V}\right)_{1}=\rho g.
$$
Для второй (верхней) трубы справедливо соотношение:
$$
\left(\frac{\Delta F}{\Delta V}\right)_{2}=\frac{\rho g S_{1}\Delta h}{S_{2}\Delta h}=\rho g \frac{S_{1}}{S_{2}.}
$$
Построим график зависимости $F(V)$ (см. рисунок):
Из него находим, что отношение угловых коэффициентов
$$
\left(\frac{\Delta F}{\Delta V}\right)_{2}:\left(\frac{\Delta F}{\Delta V}\right)_{1}=\frac{S_{1}}{S_{2}}=3,
$$
а отношение
$$
\frac{\Delta F_{1}}{\Delta F_{2}}=\frac{\rho g H_{1}}{\rho g H_{2}}=\frac{H_{1}}{H_{2}}=\frac{1.5}{2.5}=\frac{3}{5}.
$$
$2.$ (Аналитический способ) Рассмотрим ситуацию после наливания первой порции воды. По условию задачи
$$
S_{1}h_{1}=V_{0}. \qquad (1)
$$
Воспользуемся законом Паскаля:
$$
F_{0}+\rho g h_{1}S_{1}=2 F_{0}.
$$
Отсюда:
$$
F_{0}=\rho g h_{1}S_{1}. \qquad (2)
$$
Теперь рассмотрим ситуацию после наливания второй порции воды. Судя по изменению давления на заслонку, можно предположить, что вода полностью заполнила нижнюю трубу и частично – верхнюю:
$$
H_{1}S_{1}+h_{2}S_{2}=2V_{0}. \qquad (3)
$$
Согласно закону Паскаля: $F_{0}+\rho g(H_{1}+h_{2})S_{1}=4F_{0}$. Отсюда:
$$
3F_{0}=\rho g (H_{1}+h_{2})S_{1}. \qquad (4)
$$
Наконец, рассмотрим ситуацию после наливания третьей порции воды:
$$
2V_{0}+V_{0}/3=H_{1}S_{1}+H_{2}S_{2}. \qquad (5)
$$
Согласно закону Паскаля: $F_{0}+\rho g (H_{1}+H_{2})S_{1}=5F_{0}$. Отсюда:
$$
4F_{0}=\rho g(H_{1}+H_{2})S_{1}. \qquad (6)
$$
Решая полученную систему, уравнений, найдём:
$$
S_{1}:S_{2}=3:1, \quad H_{1}:H_{2}=3:5.
$$