Pho.rs: Баллистическая ракета

Решение

PC12

Баллистическая ракета запускается с северного полюса. Цель расположена на широте $\varphi$ ($\varphi>0$, для северного полушария и $\varphi<0$ для южного). Под каким углом $\alpha$ к горизонту нужно запускать ракету, чтобы ее начальная скорость была минимальной?

Примечание: баллистическая ракета ведет себя как камень: если ему сообщить начальную скорость, он будет двигаться по инерции. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Обозначим центр Земли за $O$, а за $A$ и $B$ - точки старта и приземления ракеты соответственно. Поскольку производится минимизация возможной начальной скорости ракеты, мы будем рассматривать только её эллиптические орбиты, проходящие через точки $A$ и $B$.
Центр Земли $O$ является одним из фокусов эллиптических орбит как центр тяготения, а второй фокус орбит, проходящих через точки $A$ и $B$, в силу симметрии находится на серединном перпендикуляре к $AB$. Обозначим за $C$ центр $AB$.

Пусть $2a$ - удвоенная большая полуось эллиптической орбиты, $R$ - радиус Земли, $v_0$ - начальная скорость, а $M$ и $m$ - массы Земли и ракеты соответственно. Тогда из выражения для энергии на эллиптической орбите получим:
$$\displaystyle\frac{mv^2_0}{2}-\displaystyle\frac{GMm}{R}=-\displaystyle\frac{GMm}{2a}
$$Из полученного выражения видно, что начальная скорость $v_0$ тем меньше, чем меньше удвоенная полуось эллиптической орбиты $2a$. Пусть $F$ - второй фокус эллиптической орбиты. Для минимизации удвоенной полуоси сразу отметим, что:
$$2a=OA+AF
$$Величина $OA$ является фиксированной и равна $R$, а величина $AF$ - переменная, значит, для минимизации удвоенной полуоси эллиптической орбиты необходимо минимизировать величину $AF$.
Поскольку положение точки $A$ фиксировано, а возможное ГМТ $F$ - серединный перпендикуляр к $AB$, минимальное значение достигается тогда, когда второй фокус эллиптической орбиты $F$ находится в точке $C$, введённой ранее.

Далее, для нахождения направления начальной скорости воспользуемся оптическим свойством эллипса: касательная к нему в точке $A$ направлена по биссектрисе угла, внешнего для $\angle{OAB}=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{\varphi}{2}=\theta$. Отсюда находим угол между направлением вектора скорости и горизонтом:
$$\alpha=\displaystyle\frac{\pi}{2}-\displaystyle\frac{\pi-\theta}{2}
$$или же окончательно:

Ответ: $\alpha=\cfrac{\pi}{8}+\cfrac{\varphi}{4}$