Найдите ускорения всех трех тел сразу после удара.
Обозначим шарнир, соединяющий стержни, за $O$. Введём индексы: тела массами $m$, $2m$ и $3m$ будем обозначать индексами $1$, $2$ и $3$ соответственно. Также введём единичные векторы $\vec{e}_1$, $\vec{e}_2$ и $\vec{e}_3$, направленные к точке $O$ от тел $1$, $2$ и $3$ соответственно.
Для начала отметим, что сразу после удара шарнир $O$, а также тела $1$ и $2$ имели нулевые скорости, поскольку тело $3$ получило импульс в направлении, перпендикулярном соединённому с ним стержню.
Далее, обозначим натяжения в соответствующих стержнях за $T_1$, $T_2$ и $T_3$ соответственно. Поскольку шарнир $O$ невесомый, равнодействующая сумма сил $\vec{R}=-(T_1\vec{e}_1+T_2\vec{e}_2+T_3\vec{e}_3)$ должна равняться нулю. Отсюда следует, что $T_1=T_2=T_3=T$, поскольку угол между любой парой из векторов $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3$ равен $2\pi/3$.
Перейдём к нахождению ускорений. Пусть $T/m=a$. Тогда:
$$\vec{a}_1=a\vec{e}_1\quad\vec{a}_2=\displaystyle\frac{a\vec{e}_2}{2}\quad\vec{a}_3=\displaystyle\frac{a\vec{e}_3}{3}
$$
Направление ускорения шарнира $\vec{a}_O$ неизвестно, однако в явном виде оно нам не понадобится. Заметим, что поскольку стержни $1$ и $2$ не вращаются, проекции ускорения шарнира $O$ на их направления равны модулям ускорений соответствующих тел, что можно записать в следующем виде:
$$a=\vec{a}_O\cdot{\vec{e}_1}\qquad \displaystyle\frac{a}{2}=\vec{a}_O\cdot{\vec{e}_2}
$$
Рассмотрим движение тела $3$ относительно шарнира $O$. Относительно движение происходит по окружности, причём, поскольку сразу после удара скорость шарнира равна нулю:
$$(\vec{a}_3-\vec{a}_O)\cdot{\vec{e}_3}=\displaystyle\frac{v^2_0}{L}
$$
откуда
$$\displaystyle\frac{a}{3}=\displaystyle\frac{v^2_0}{L}+\vec{a}_O\cdot{\vec{e}_3}
$$
Разложение вектора $\vec{e}_3$ в базисе векторов $\vec{e}_1$ и $\vec{e}_2$ легко находится из симметрии:
$$\vec{e}_3=-(\vec{e}_1+\vec{e}_2)
$$
откуда
$$\vec{a}_O\cdot{\vec{e}_3}=-(\vec{a}_O\cdot{\vec{e}_1}+\vec{a}_O\cdot{\vec{e}_2})=-\displaystyle\frac{3a}{2}
$$
Подставляя полученное выражение в уравнения движения тела $3$ относительно шарнира, получим:
$$\displaystyle\frac{a}{3}=\displaystyle\frac{v^2_0}{L}-\displaystyle\frac{3a}{2}\Rightarrow a=\displaystyle\frac{6v^2_0}{11L}
$$
Теперь получим ответы на вопрос задачи:
Ответ:
$a_1=\cfrac{6}{11} \cfrac{v_0^2}{L}\quad a_2=\cfrac{3}{11} \cfrac{v_0^2}{L}\quad a_3=\cfrac{2}{11} \cfrac{v_0^2}{L}$