Данная колебательная система обладает четырьмя степенями свободы. Значит, количество различных типов собственных колебаний не более четырёх.
Сразу заметим, что при нулевых напряжениях на каждом элементе цепи, возможно возникновение одинаковой и постоянной во времени силы тока в катушках индуктивности. Таким образом, один из cобственных частот колебаний равна:
$$\omega_1=0
$$
Импедансы катушки с индуктивностью $L$ и конденсатора с ёмкостью $C$ при частоте колебаний системы $\omega$ равны соответственно:
$$Z_L=i\omega L\qquad Z_C=-\cfrac{i}{\omega C}
$$
В соответствии с неравенствами, описанным в условии задачи, имеет смысл рассматривать систему при высоких и низких частотах.
Проанализируем систему при низких частотах порядка $1/\sqrt{L_2C_2}$.
Поскольку $L_1\ll{L_2}$ и $C_1\ll{C_2}$, импеданс катушек $L_1$ мал, а импеданс конденсаторов $C_1$ стремится к бесконечности. С учётом этого, сила тока в конденсаторах $C_1$ и напряжение на катушках $L_1$ стремятся к нулю. Используем это, разорвав соединения между узлами, соединёнными с конденсаторами $C_1$, и объединим узлы, соединённые с катушками $L_1$.
Проанализируем схему при высоких частотах порядка $1/\sqrt{L_1C_1}$.
Поскольку $L_1\ll{L_2}$ и $C_1\ll{C_2}$, импеданс конденсаторов $C_2$ мал, а импеданс катушек $L_2$ стремится к бесконечности. С учётом этого, сила тока в катушках $L_2$ и напряжение на конденсаторах $C_2$ стремятся к нулю. Используем это, разорвав соединения между узлами, соединёнными с катушками $L_2$, и объединим узлы, соединённые с конденсаторами $C_2$.
Будем искать решение в виде $\ddot{q}=-\omega^2q$.
Введём обозначения:
$$a=\cfrac{1}{L_1C_1}\quad b=\cfrac{1}{L_1C_2}\quad c=\cfrac{1}{L_2C_1}\quad d=\cfrac{1}{L_2C_2}
$$Тогда систему уравнений можно переписать в матричной форме
$$\begin{pmatrix}
-\omega^2&0&0&0\\
0&-\omega^2&0&0\\
0&0&-\omega^2&0\\
0&0&0&-\omega^2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
q_1\\
q_2\\
q_3\\
q_4
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
-2a&a&0&a\\
a&-(a+b)&b&0\\
0&d&-2d&d\\
c&0&d&-(c+d)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
q_1\\
q_2\\
q_3\\
q_4
\end{pmatrix}
$$Для нахождения уравнений приравняем у нулю определитель матрицы $A+\omega^2E$:
$$\begin{pmatrix}
(\omega^2-2a)&a&0&a\\
a&(\omega^2-(a+b))&b&0\\
0&d&(\omega^2-2d)&d\\
c&0&d&(\omega^2-(c+d))
\end{pmatrix}
$$
Найдём определитель матрицы:
$$\det\left[A+\omega^2E\right]=(\omega^2-2a)(\omega^2-(a+b))((\omega^2-2d)(\omega^2-(c+d))-d^2)-
$$$$-(\omega^2-2a)bd(\omega^2-(c+d))-a^2((\omega^2-2d)(\omega^2-(c+d))-d^2)-abcd-
$$$$-a^2d^2-a(\omega^2-(a+b))c(\omega^2-2d)+abcd=0
$$Выделяя множители, приходим к уравнению:
$$\omega^8-\omega^6(3a+b+c+3d)+\omega^4(a^2+2ab+2ac+9ad+bc+2bd+2cd+d^2)-
$$$$-\omega^2(abc+4abd+4acd+bcd+3ad^2+3a^2d)=0
$$Подставим $a$, $b$, $c$ и $d$:
$$\omega^8-\omega^6\left(\cfrac{3}{L_1C_1}+\cfrac{1}{L_1C_2}+\cfrac{1}{L_2C_1}+\cfrac{3}{L_2C_2}\right)+\omega^4\left(\cfrac{1}{L^2_1C^2_1}+\cfrac{1}{L^2_2C^2_2}+\cfrac{2}{L^2_1C_1C_2}+\cfrac{2}{L_1L_2C^2_1}\\
+\cfrac{2}{L_1L_1C^2_2}+\cfrac{2}{L^2_2C_1C_2}+\cfrac{10}{L_1L_2C_1C_2}\right)-4\omega^2\left(\cfrac{1}{L^2_1L_2C^2_1C_2}+\cfrac{1}{L_1L^2_2C_1C^2_2}+\cfrac{1}{L^2_1L_2C_1C^2_2}+\cfrac{1}{L_1L^2_2C^2_1C_2}\right)=0
$$
Сразу видно, что $\omega_1=0$ является одним из корней уравнения.
Оставим только ведущее слагаемое в каждой скобке с учётом $L_1\ll{L_2}$ и $C_1\ll{C_2}$:
$$\omega^6-\cfrac{3}{L_1C_1}\omega^4+\cfrac{1}{L^2_1C^2_1}\omega^2-\cfrac{4}{L^2_1C^2_1L_2C_2}=0
$$
При частотах, много меньших $\cfrac{1}{\sqrt{L_1C_1}}$ можно отбросить слагаемые, содержащие $\omega^6$ и $\omega^4$:
$$\cfrac{\omega^2}{L^2_1C^2_1}-\cfrac{4}{L^2_1C^2_1L_2C_2}=0\Rightarrow{\omega_2=\cfrac{2}{\sqrt{L_2C_2}}}
$$
При частотах порядка $\cfrac{1}{\sqrt{L_1C_1}}$ можно отбросить свободный член.
Тогда:
$$\omega^4-\cfrac{3\omega^2}{L_1C_1}+\cfrac{1}{L^2_1C^2_1}=0\Rightarrow{\omega_{3{,}4}=\sqrt{\cfrac{3\pm{\sqrt{5}}}{L_1C_1}}}
$$