Заряд распределится по поверхностям частей шара так, чтобы в любой точке их объёма электрическое поле равнялось нулю. Из равенства нулю электрическое поле в объёме проводников напрямую следует, что их поверхности будут эквипотенциальны.
Воспользуемся теоремой о единственности распределения зарядов: заряды фиксированной величины на поверхностях проводников единственным образом могут распределиться так, чтобы в объёме проводников электрическое поле равнялось нулю.
Рассмотрим следующее распределение:
1) по сферическим поверхностям частей шара заряд распределится равномерно с поверхностной плотностью заряда $\sigma_1$;
2) суммарный заряд плоских поверхностей частей шара равен нулю, а сами они заряжены равномерно с поверхностными плотностями заряда $\pm{\sigma_2}$.
Поскольку толщина изолятора мала, распределённый заряд представляет собой равномерно заряженную сферу и плоский конденсатор. Внутри равномерно заряженной сферы и вне плоского конденсатора электрическое поле равняется нулю, что удовлетворяет требованию к равенству нулю электрического поля в объёме шара.
Суммарный заряд сферических поверхностей равен $Q$, откуда:
$$\sigma_1=\cfrac{Q}{4\pi{R}^2}
$$
Также, поскольку площади сферических поверхностей отличаются в три раза, заряды плоских поверхностей частей шара равны:
$$q_{12}=\pm{\cfrac{3Q}{4}}
$$Сразу найдём величину $\sigma_2$.
Телесный угол, под которым видна меньшая из частей шара из его центра, равен:
$$\Omega_0=\cfrac{S}{R^2}=2\pi\left(1-\cos\alpha\right)
$$где $\alpha$ - угол между осью симметрии сегмента и линиями, проведёнными в точки его периметра из центра шара. Поскольку $S=\pi{R}^2$, имеем:
$$\cos\alpha=\cfrac{1}{2}
$$Для площади плоских поверхностей частей шара имеем:
$$S_\text{пл}=\pi{R}^2\sin^2\alpha=\cfrac{3\pi{R}^2}{4}\Rightarrow{\sigma_2=\cfrac{Q}{\pi{R}^2}}
$$
Электрическое поле на поверхности проводника направлено перпендикулярно ей.
Пусть $\sigma$ и $\vec{e}_n$ - поверхностная плотность заряда и вектор нормали к поверхности проводника в некоторой его точке.
Выделим в окрестности данной точки бесконечно малый элемент поверхности проводника. Пусть $\vec{E}_\text{собс}$ - электрическое поле, создаваемое выделенным элементом, а $\vec{E}_\text{ост}$ - электрическое поле, создаваемое оставшимися зарядами на поверхности проводника. Поскольку при переходе внутрь проводника электрическое поле выделенного элемента изменяется на противоположное, имеем:
$$
\begin{cases}
\vec{E}_\text{собс}+\vec{E}_\text{ост}=\cfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec{e}_n\\
\vec{E}_\text{ост}-\vec{E}_\text{собс}=0
\end{cases}
\Rightarrow{\vec{E}_\text{собс}=\vec{E}_\text{ост}=\cfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec{e}_n}
$$
Сила электростатического взаимодействия некоторой выделенной части зарядов с оставшейся частью зарядов проводника равна:
$$\vec{F}=\int\vec{E}_\text{ост}dq{,}
$$поскольку взаимодействия друг с другом частей, входящих в выделенную систему, компенсируются в силу третьего закона Ньютона.
Далее отметим, что выражение для бесконечно малого элемента силы можно записать следующим образом:
$$d\vec{F}=\vec{E}_\text{ост}dq=\cfrac{\sigma^2dS}{2\varepsilon_0}\vec{e}_n=p_\text{эл}dS\cdot{\vec{e}_n}
$$где $p_\text{эл}=\cfrac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$ - "электростатическое давление" на поверхность проводника.
При нулевой толщине изолятора заряды равномерно распределены только по сферической поверхности, т.к заряды плоских поверхностей друг друга компенсируют.
Тогда потенциальная энергия взаимодействия зарядов сферической поверхности равна:
$$W_0=\cfrac{\varphi{Q}}{2}
$$
где $\varphi$ - потенциал на поверхности шара, равный:
$$\varphi=\cfrac{Q}{4\pi\epsilon_0R}
$$
Тогда энергия системы при нулевой толщине изолятора равна:
$$W_0=\cfrac{Q^2}{8\pi\epsilon_0R}
$$
Можно исследовать и первую поправку к величине энергии системы.
При ненулевой толщине изолятора энергия системы равна:
$$W_p=W_0+A
$$
где $A$ - работа внешних сил по относительному перемещению частей шара.
При толщине зазора $h\ll{R}$ работа $A$ равна:
$$A=Fh=\cfrac{45Q^2}{128\pi\epsilon_0R^2}\cdot{h}
$$
В пределе для нулевой толщины изолятора имеем: