1  ^?? Каким будет расстояние $L$ между частицами в момент, когда их относительная скорость по модулю опять станет равна начальной относительной скорости?

Перейдём в систему отсчета, связанную с одной из частиц (например, первой). Воспользуемся законом сложения скоростей и ускорений. Так как скорости частиц всё время остаются перпендикулярными (как и ускорения), то мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. В итоге получим, что вторая частица начинает движение со скоростью $5v$ и ускорением $5a$ (см. рисунок).

Пусть вторая частица двигалась вдоль оси $OX$. В новой системе отсчёта угол $\alpha$ между осью $OX$ и начальной скоростью (и начальным ускорением) найдём из условия перпендикулярности скоростей (и ускорения частиц) в старой системе отсчёта: $\operatorname{tg} \alpha =3/4$, $\alpha =36.87^\circ$. По аналогии с задачей о дальности полёта тела, брошенного под углом $2 \alpha$ к вертикали, получим:
$$
L=\frac{(5v)^{2}\sin 4\alpha}{5a}=\frac{5 v^{2} \sin 4 \alpha}{a}=500~м.
$$

2  ^?? Чему будет равна минимальная относительная скорость $v_{отн}$ частиц?

Относительная скорость станет минимальной в тот момент, когда вектор скорости окажется перпендикулярным вектору ускорения. Таким образом, $v_{отн(мин)}=5 v \sin 2 \alpha=48~м/с$.