Пусть в первом случае столб воды имеет длину $L_{в}$, а столб льда $L_{л}$. Тогда:
$$
L_{в}+L_{л}=L_{2}. \qquad (1)
$$
Так как масса содержимого между поршнями постоянна:
$$
L_{в}\rho_{в}+L_{л}\rho_{л}=L_{1}\rho_{в}. \qquad (2)
$$
Поскольку тепловые потоки через лёд и воду равны, то:
$$
\frac{kS(t_{2}-t_{0})}{L_{в}}=\frac{4kS(t_{0}-t_{1})}{L_{л}}, \text{ где } t_{0}=0^\circ. \quad (3)
$$
Из уравнения $(3)$, с учётом заданных температур находим, что $L_{л}=10L_{в}$. Из уравнений $(1)$ и $(2)$ получим: $L_{в}=8~см$, и $L_{2}=11L_{в}=88~см$.
Тепловой поток $P$ через каждое сечение одинаково:
$$
P=\frac{kS(t_{2}^{'}-t_{1}^{'})}{\Delta L},
$$
где $t_{1}^{'}$, $t_{2}^{'}$ – температура слева и справа от фрагмента цилиндра длиной $\Delta L$. Отсюда $t_{2}^{'}-t_{1}^{'}=(P\Delta L)/(kS)$, то есть $\Delta t \sim \Delta L$. Это означает, что температура льда и воды от поршня до границы раздела изменяется по линейному закону, поэтому можно считать, что соответствующие части системы имеют среднюю температуру (лёд $t_{л}=-20^\circ$, вода $t_{в}=8^\circ$). После того, как систему теплоизолировали, между поршнями устанавливается тепловое равновесие с некоторой температурой $t$. При охлаждении воды до температуры плавления $выделится$ количество теплоты
$$
Q_{1} =L_{в}S\rho_{в}c_{в}t_{в}=33 600 L_{в}S\rho_{в}.
$$
Для нагревания льда до температуры плавления $потребуется$ количество теплоты
$$
Q_{2}=10L_{в}S 0.9 \rho_{в}c_{л}(0-t_{л})=378 000 L_{в}S\rho_{в}.
$$
Следовательно, вода точно охладится до $0^\circ$ и начнёт замерзать. При замерзании выделится количество теплоты
$$
Q_{3}=\lambda L_{в}S \rho_{в}=330 000 L_{в}S\rho_{в}.
$$
Этого тепла не хватит, чтобы нагреть лёд до температуры плавления. Следовательно, вся вода замёрзнет. Тогда:
$$
L_{3}=\frac{10}{9}L_{1} \approx 88.9~см.
$$