$ \mathbf{Графическое~решение}$. Пусть $L$ – длина контрольного участка трассы. Время движения болида $t_{0}=L/v_{ср}$. На графике $v(t)$ возможные способы движения болида представлены прямыми с разными наклонами (ускорениями), причём, площадь под каждым графиком (длина пути) одинакова (см. рисунок).
Пусть болид стартовал со скоростью $v_{1}$. Обозначим через $t_{1}$ момент времени, когда он находился в середине пути. Площади под графиком слева и справа от точки $t_{1}$ равны. Заметим, что при увеличении по модулю ускорения $a$ значение скорости в середине пути (момент $t_{1}$) увеличивается.
Наименьшая скорость $v_{\min}$ достигается при $a=0$ и равна средней скорости $v_{ср}$, а максимальная $v_{\max}$ будет достигнута при движении с максимальным ускорением и нулевой начальной (или конечно) скоростью. Конечная скорость при таком движении $v_{к}=2v_{ср}$. Длина контрольного участка равна:
$$
L=\frac{v_{к}^{2}}{2a}.
$$
На половине пути:
$$
\frac{L}{2}=\frac{v_{\max}^{2}}{2a}.
$$
Отсюда следует, что максимальная скорость в середине участка равна $v_{\max}=v_{к}/\sqrt{2}=\sqrt{2}v_{ср}$.
$ \mathbf{Аналитическое~решение}$. Пусть начальная скорость болида $v_{0}$, а ускорение при движении равно $a$. Тогда длина контрольного участка трассы
$$
L=\frac{v_{к}^{2}-v_{0}^{2}}{2a}. \qquad (1)
$$
Для половины пути справедливо соотношение:
$$
\frac{L}{2}=\frac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}. \qquad (2)
$$
Из $(1)$ и $(2)$ получим выражение для скорости в середине трассы:
$$
v^{2}=\frac{v_{к}^{2}+v_{0}^{2}}{2}.
$$
Так как движение равноускоренное, то средняя скорость $v_{ср}$ выражается через $v_{к}$ $v_{0}$ следующим образом:
$$
v_{ср}=\frac{L}{t}=\frac{v_{0}t+at/2}{t}=v_{0}+\frac{v_{к}-v_{0}}{2}=\frac{v_{0}+v_{к}}{2}.
$$
Начальная и конечная скорости неотрицательны, поэтому для начальной скорости верно условие $0 < v_{0} < 2v_{ср}$.
Выразим скорость $v$ в середине пути через $v_{0}$ и $v_{ср}$:
$$
v^{2}=2v_{ср}^{2}-2v_{0}v_{ср}+v_{0}^{2}=(v_{ср}-v_{0})^{2}+v_{ср}^{2}.
$$
Минимальная скорость $v_{\min}$ достигается при $v_{0}=v_{ср}$ и равна $v_{ср}$. Максимальная скорость $v_{\max}$ достигается при $v_{0}=0$ или $v_{0}=2v_{ср}$ и равна $\sqrt{2} v_{ср}$.