1  ^?? На какие температуры $t_1$ и $t_2$ был настроен регулятор в начале и в конце эксперимента?

Пусть $P$ – мощность поступающей за счёт теплообмена из окружающей среды теплоты, $P=\alpha(t-t{0})$, $P_{0}$ – мощность отводимой за счёт работы холодильника теплоты, $C$ – теплоёмкость холодильника с содержимым.
Для нагрева холодильника на $\Delta t$ требуется время $T$ (время бездействия):
$$
T=\frac{C\Delta t}{P}=\frac{C\Delta t}{\alpha(t_{0}-t)}. \quad (1)
$$
Далее включается двигатель и температура в холодильнике понижается на $\Delta t$ за время $\tau$ (время работы):
$$
\tau=\frac{C\Delta t}{P_{0}-P}=\frac{C\Delta t}{P_{0}-\alpha(t_{0}-t)}. \quad (2)
$$
Пусть изначально температура в холодильнике была равна $t=t_{1}$, при этом $\tau=2T$, откуда, с учётом $(1)$ и $(2)$ получим:
$$
t_{1}=t_{0}-\frac{2P_{0}}{3\alpha}.
$$
Во втором случае $2\tau=T$ при $t-t_{2}$, откуда с учётом $(1)$ и $(2)$ получим:
$$
t_{2}=t_{0}-\frac{P_{0}}{3\alpha}.
$$
Тогда $\theta =t_{2}-t_{1}=P_{0}/(3\alpha)$, откуда
$$
t_{1}=t_{0}-2 \theta=12^\circ С, \quad t_{2}=t_{0}-\theta=21^\circ С.
$$

2  ^?? На какую внутреннюю температуру $t_{m}$ надо выставить регулятор, чтобы двигатель холодильника начал работать без перерыва?

Двигатель холодильника будет работать непрерывно, если мощность отводимой им теплоты будет меньше или равна мощности теплоты, подводящейся из окружающей среды:
$$
P_{0} \leqslant \alpha(t_{0}-t), \text{ откуда } t \leqslant t_{0}-\frac{P_{0}}{\alpha},
$$
значит,
$$
t_{m}=t_{0}-\frac{P_{0}}{\alpha}=t_{0}-3\theta=3^\circ С.
$$

3  ^?? При какой выставленной регулятором температуре $t_{3}$ частота включения холодильника станет максимальной?

В решении первого пункта задачи было показано, что время между двумя последовательными включениями холодильника равно
$$
T+\tau=\frac{C\Delta t}{P}+\frac{C\Delta t}{\alpha(t_{0}-t)}=\frac{C\Delta P_{0}}{\alpha(t_{0}-t)(P_{0}-\alpha(t_{0}-t))}.
$$
Частота включения холодильника максимальна, когда максимальна величина $y=\alpha(t_{0}-t)(P_{0}-\alpha(t_{0}-t))$. Для удобства обозначим $(t_{0}-t)$ за $x$. График $y(x)=\alpha P_{0}x-\alpha x^{2}$ – парабола, ветви которой направлены вниз, поэтому $y$ максимально для вершины параболы. Координаты вершины параболы $x_{в}=P_{0}/(2 \alpha)$, значит
$$
t_{3}=t_{0}-\frac{P_{0}}{2\alpha}=t_{0}-\frac{3}{2} \theta=16.5^\circ С.
$$