1  ^?? В предположении, что $S_{1} > S_{2}$ , определите, в каких направлениях и на какие расстояния сместятся поршни. Какую силу $F_{1}$ необходимо прикладывать к рычагу, чтобы удерживать его после смещения на расстояние $h$?

Объём жидкости не изменяется, следовательно поршни могут перемещаться только в противоположных направлениях. Поршень $S_{2}$ смещается вверх, а $S_{1}$ — вниз. Пусть при перемещении рычага вверх на $h$, правый поршень поднялся на $x$, а левый опустился на $y$. Тогда из-за несжимаемости жидкости $y=xS_{2}/S_{1}$. Рассмотрим изменение длин вертикальных участков нити $AB$, $CD$ и $EF$. Длина $AB$ увеличивается на $\Delta l_{2}=x-h$. Длина нити не меняется, поэтому $\Delta l_{1}=2\Delta l_{2}$. Следовательно $h+y=2x-2h$. Откуда:
$$
x=\frac{3hS_{1}}{(2S_{1}-S_{2})}, \text{ а } y=\frac{3hS_{2}}{(2S_{1}-S_{2})}.
$$

На поршни действуют силы натяжения (на левый действует сила $T$, а на правый $2T$), сила давления атмосферы и сила давления, действующая со стороны жидкости. Пусть $p_{1}$ давление в жидкости под поршнем в левом цилиндре. Давление под правым поршнем будет равно:
$$
p_{2}=p_{1}-\rho g(x+y)=p_{1}-\rho gx(1+S_{2}/S_{1}).
$$
Условие равновесия для левого поршня: $T+p_{1}S_{1}=p_{0}S_{1}$. Для правого: $2T+p_{2}S_{2}=p_{0}S_{2}$. Откуда:
$$
p_{1}p_{0}-\rho gx\frac{S_{2}(S_{1}+S_{2})}{(2S_{1}-S_{2})S_{1}}, \\
T=(p_{0}-p_{1})S_{1}=\rho gx\frac{S_{2}(S_{1}+S_{2})}{(2S_{1}-S_{2})S_{1}}.
$$
Сила $F$, приложенная к рычагу равна: $F=3T=9\rho gh\frac{S_{1}+S_{2}}{(2S_{1}-S_{2})^{2}}$.

2  ^?? Какая сила $F_{2}$ потребуется для перемещения рычага вверх на расстояние $h$ при $S_{2} = 2S_{1}$?

При $S_{2}=2S_{1}$ на правый поршень действуют силы давления и натяжения вдвое большие, чем на левый, поэтому поршни не могут двигаться в противоположных направлениях. Следовательно смещение поршней возможно лишь при их отрыве от поверхности жидкости. При перемещении рычага силы не изменяются и равны: $T+p_{0}S_{1}$, $F=3T=3p_{0}S_{1}$.