На небольшой участок нити действуют две силы натяжения, сила реакции и сила трения. Сила трения направлена вертикально т.к. мы рассматриваем крайний случай.

Из горизонтального баланса сил $T_x = \mathrm{const}$ и
\[ T_x \Delta \varphi = \Delta N \quad \Rightarrow \quad \Delta f = \mu \Delta N = \mu T_x \Delta \varphi \]Из вертикального баланса сил ($\alpha$ - угол между нитью и горизонтом)
\[ T_x \tan \alpha = T_x \tan (\alpha + \Delta \alpha) + \Delta f \quad\]или
\[T_x \Delta (\tan \alpha) = - \mu T_x \Delta \varphi \]В верхней точке нить горизонтальна, значит
\[ \tan \alpha= \mu \varphi\]\[\tan^2 \alpha = \frac{1-\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}-1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\cos \alpha} = \sqrt{1+(\mu \varphi)^2}\]Остается записать интеграл
\[ L = 2\int\limits_0^{\pi} \sqrt{1+ (\mu \varphi)^2} R \, \mathrm{d} \varphi = \frac{R}{\mu} \cdot 2 \int\limits_0^{\mu \pi} \sqrt{1+x^2} \, \mathrm{d}x = \pi R \sqrt{1+ (\mu \pi)^2} + \frac{R}{\mu} \operatorname{arcsinh} (\pi \mu)\]