A. Очень простые задачи на комплексные числа

A1 Найдите
\[
\left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|.
\]
Подсказка: $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$, $\overline{e^{ix}} = e^{-ix}$. Кроме того, сопряжение перестановочно с любыми алгебраическими операциями:
$$
\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 / z_2} = \overline{z_1} /\overline{z_2}
$$

A2 Представьте в показательной форме:
\[
\frac{2+\sqrt{3} + i}{1 + e^{ix}}
\]

A3 Разложите $\sin^5 x$ в сумму первых степеней тригонометрических функций кратных аргументов ($\cos x$, $\cos 2x$, ...). Как можно заранее понять какие функции войдут в ответ?

A4 Представьте $\cos 4x$ в виде многочлена от $\cos x$.

A5 Найти амплитуду колебания, которое возникает в результате сложения трех колебаний одного направления:
$x_1 = a \cos \omega t $,
$x_2=2a \sin \omega t$,
$x_3 = 1,5 a \cos (\omega t + \pi /3)$.
Решить задачу графически и с помощью комплексных чисел.

B. Простые задачи на комплексные числа

B1 Вычислите ряд
\[
\sum_{k=0}^{\infty}r^k \sin{kx}
\]

B2 Вычислите сумму
\[
C_n^1-C_n^3+C_n^5-...
\]

B3 Вычислите сумму
\[
\sum_{k=1}^n k \cos kx
\]

B4.1* Проверьте, что уравнение
\[
az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R}
\]
задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение
\[
z \overline{z} + b \overline{z} + \overline{b} z + c = 0, \qquad при\; c \in \mathbb{R}, b \overline{b} > c
\]
задает окружность.

На самом деле, все прямые и окружности задаются такими уравнениями с подходящими коэффициентами.

B4.2* Рассмотрим преобразование $z \mapsto 1/\overline{z}$ плоскости комплексных чисел. Докажите, что прямые и окружности под его действием переходят в (возможно другие) прямые и окружности.

B5* Найдите среднее значение $\sin^{100} x$, т.е.
\[
\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^{100} x \, dx
\]

C. Гауссовы интегралы

Факт:
$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}.
$$
Интегралы такого типа называются гауссовыми.

C1 Вычислите
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} dx\, e^{-a x^2 + b x}.
$$

C2 Дифференцируя интеграл выше по параметру $b$, найдите значения интегралов
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^2 e^{-a x^2}, \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, x^4 e^{-a x^2}
$$

C3 Предположим, что формула для $\int_{-\infty}^{\infty} dx\, e^{-a x^2}$ годится и для комплексных $a$.
Вычислите с помощью этой формулы интегралы
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \cos (x^2), \quad \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, \sin (x^2).
$$

D. Диффуры, колебания

D1 Для уравнения
\[
(\sin \sqrt{x})y''(x) + 12 y(x) = 0
\]
с начальным условием $y(3) = 1$, $y'(3) = 0$, приближенно найдите $y(4)$.

D2 Найти период колебаний
\[
\ddot{x} + x^{3/2} = 0
\]
если $x(0) = a$, $\dot{x}(0) = 0$. В ответе можно оставить невычисленным интеграл, но он не должен зависеть от $a$.