A1
Найдите
\[
\left|\frac{1+e^{ix}}{1+e^{iy}}+\frac{1+e^{iy}}{1+e^{ix}}\right|.
\]
Подсказка: $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$, $\overline{e^{ix}} = e^{-ix}$. Кроме того, сопряжение перестановочно с любыми алгебраическими операциями:
$$
\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1 / z_2} = \overline{z_1} /\overline{z_2}
$$
B4.1*
Проверьте, что уравнение
\[
az + b \overline{z} + c = 0, \qquad при\; |a| = |b|, c=0 \; или \; a = \overline{b}, c \in \mathbb{R}
\]
задает прямую на комплексной плоскости, и что уравнение
\[
z \overline{z} + b \overline{z} + \overline{b} z + c = 0, \qquad при\; c \in \mathbb{R}, b \overline{b} > c
\]
задает окружность.
На самом деле, все прямые и окружности задаются такими уравнениями с подходящими коэффициентами.
Факт:
$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}.
$$
Интегралы такого типа называются гауссовыми.