В равновесном состоянии газа все три движения являются равноправными, т.е:
$$\overline{v^2_x}=\overline{v^2_y}=\overline{v^2_z}
$$
Пусть в начальном состоянии среднеквадратичный модуль скорости газа равен $v_0$. Тогда:
$$\left(\overline{v^2_{x_0}}, \overline{v^2_{y_0}}, \overline{v^2_{z_0}}\right)=\left(\frac{v^2_0}{3},\frac{v^2_0}{3}, \frac{v^2_0}{3}\right)
$$
В очень сильно разреженном газе любое возмущение выравнивается по всем его молекулам очень большое время, много большее, чем любые другие характерные времена процессов, рассматриваемых в задаче.
В силу соотношения между рассмотренными в условии задачи временных параметров $\tau, t~\text{и}~T$, можно считать, что:
1) поскольку $T\gg{t}$, за время ожидания в газа достигается состояние равновесия;
2) поскольку $t\gg{\tau}$, во время изменения магнитного поля взаимодействием молекул газа друг с другом можно пренебречь;
3) поскольку $\tau\gg{\frac{m}{eB}}$, во время изменения магнитного поля молекулы газа движутся по винтовым линиями, радиус которых меняется очень медленно.
При изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, приводящее к изменению скоростей молекул газа. Если ось $z$ направлена вдоль магнитного поля, то проекции скоростей молекул на данную ось остаются постоянными при изменении магнитного поля.
Пусть $u$ - компонента скорости газа, перпендикулярная оси $z$, а $R$ - радиус винтовой линии. Тогда при движении в постоянном магнитном поле:
$$\frac{mu^2}{R}=euB
$$
Далее, пусть магнитное поле изменяется со скоростью $\dot{B}$. Найдём среднее за один оборот тангенциальное ускорение молекулы, считая радиус $R$ постоянным:
$$m\overline{\dot{u}}=-e\frac{\oint_L\vec{E}\cdot{d\vec{r}}}{2\pi R}=e\frac{\dot{\Phi}}{2\pi R}=\frac{eR\dot{B}}{2}
$$
Из уравнений движения, усреднённых за несколько периодов, найдём:
$$\frac{\dot{B}}{B}=2\frac{\dot{u}}{u}\Rightarrow \frac{u^2}{B}=const
$$
Последнее соотношение является адиабатическим инвариантом для частицы в магнитном поле.
Поскольку $u^2=v^2_x+v^2_y$, сразу после изменения магнитного поля от $B_0$ до $2B_0$, имеем:
$$\left(\overline{v^2_{x'}}, \overline{v^2_{y'}}, \overline{v^2_{z'}}\right)=\left(\frac{v^2_0}{3},\frac{2v^2_0}{3}, \frac{2v^2_0}{3}\right)
$$
Таким образом, для среднеквадратичного значения скорости находим:
$$\overline{v^2_1}=\frac{5v^2_0}{3}
$$
Далее, за большое время ожидания $T$ направления вновь становятся равноправными:
$$\left(\overline{v^2_{x_1}}, \overline{v^2_{y_2}}, \overline{v^2_{z_1}}\right)=\left(\frac{5v^2_0}{9},\frac{5v^2_0}{9}, \frac{5v^2_0}{9}\right)
$$
Далее, магнитное поле возвращается к начальному значению $B_0$ за время порядка $\tau$. Аналогично первому изменению, сразу после перехода получим:
$$\left(\overline{v^2_{x"}}, \overline{v^2_{y"}}, \overline{v^2_{z"}}\right)=\left(\frac{5v^2_0}{9},\frac{5v^2_0}{18}, \frac{5v^2_0}{18}\right)
$$
Для конечной среднеквадратичной скорости имеем:
$$\overline{v^2_{\text{к}}}=\frac{10v^2_0}{9}
$$
Поскольку температура является мерой кинетической энергии молекул, т.е $T\sim\overline{v^2}$, окончательно получим: