Найдите промежуток времени в системе отсчета корабля, который пройдет между встречей с первой ракетой и второй.

Рассмотрим четыре способа решения данной задачи:

1. На основе преобразований Лоренца;
2. С использованием закона изменения энергии;
3. С использованием параметра быстроты $\theta$;
4. С помощью $x-ict$ диаграммы.

Первое решение: Рассмотрим движение в инерциальной системе отсчёта (называемой ЛСО), в которой ракета покоилась в момент запуска кораблей.

Запишем преобразования Лоренца для координат и времени:

$$t=\gamma (t'+\beta x'/c)\quad x=\gamma(x'+\beta ct')\quad y=y'\quad z=z'
$$

Дифференцируя, получим преобразование скоростей:

$$v_x=\cfrac{dx}{dt}=\cfrac{dx'+\beta cdt'}{dt'+\beta dx'/c}=\cfrac{v_{x'}+\beta c}{1+\beta v_{x'}/c}
$$

$$v_{y{,}z}=\cfrac{d(y{,}z)}{dt}=\cfrac{d(y'{,}z')}{\gamma(dt'+\beta dx'/c)}=\cfrac{v_{y'{,}z'}}{\gamma(1+\beta v_{x'}/c)}
$$

В нашей задаче $\beta c=v$, поскольку система отсчёта всегда сопутствует ракете.

Далее продифференцируем выражение для $v_x$:

$$a_x=\cfrac{dv_x}{dt}=\cfrac{dv_{x'}}{\gamma(1+\beta v_{x'}/c)(dt'+\beta dx'/c)}-\cfrac{(v_{x'}+\beta c)\beta dv_{x'}/c}{\gamma(1+\beta v_{x'}/c)^2(dt'+\beta dx'/c)}
$$

$$a_x=\cfrac{a_{x'}}{(1+\beta v_{x'}/c)^2}-\cfrac{\beta(v_{x'}/c+\beta)a_{x'}}{(1+\beta v_{x'}/c)^3}=\cfrac{a_{x'}}{\gamma^3(1+\beta v_{x'}/c)^3}
$$

Поскольку $v_{x'}=0$, а $a_{x'}=g=const$ имеем:

$$a_x=\cfrac{g}{\gamma^3}
$$

Получим зависимость $v_x(t)$ и $x(t)$ для ракеты в ЛСО:
$$\cfrac{dv_x}{dt}=g\left(1-v^2/c^2\right)^{3/2}
$$
Поскольку $v_x=v$, имеем:
$$\cfrac{d\beta}{(1-\beta^2)^{3/2}}=\cfrac{gdt}{c}\Rightarrow \cfrac{gt}{c}=\int\limits_{0}^{\beta}\cfrac{d\beta}{(1-\beta^2)^{3/2}}\biggl[\beta=\sin\varphi\biggl]=\int\limits_{0}^{\arcsin\beta}\cfrac{d\varphi}{\cos^2\varphi}=\tan\varphi\biggl|_{0}^{\arcsin\beta}=\cfrac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}
$$
Имеем:
$$\beta(t)=\cfrac{gt}{\sqrt{c^2+g^2t^2}}
$$
Далее определим $x(t)$:
$$x=\int\limits_{0}^t\beta cdt=\int\limits_{0}^t\cfrac{cgtdt}{\sqrt{c^2+g^2t^2}}\biggl[z=gt/c\biggr]=\cfrac{c^2}{2g}\int\limits_{0}^{gt/c}\cfrac{dz}{\sqrt{1+z^2}}=\cfrac{c^2\sqrt{1+z^2}}{g}\biggl|_{0}^{gt/c}
$$
Окоyчательно:
$$x(t)=\cfrac{c^2}{g}\left(\sqrt{1+\left(\cfrac{gt}{c}\right)^2}-1\right)
$$
Сразу определим $x(\beta)$:
$$x(\beta)=\cfrac{c^2}{g}\left(\sqrt{1+\cfrac{\beta^2}{1-\beta^2}}-1\right)=\cfrac{c^2(\gamma-1)}{g}
$$

Определим прошедшее собственное время $\tau(v)$:
$$d\tau=\cfrac{dt}{\gamma}=\cfrac{dx}{\gamma\beta c}=\cfrac{c}{g}\cfrac{d\gamma}{\gamma\beta}=\cfrac{c\gamma^2d\beta}{g}
$$
Откуда:
$$\cfrac{g\tau}{c}=\int\limits_{0}^{\beta}\cfrac{d\beta}{1-\beta^2}=\int\limits_{0}^{\beta}\left(\cfrac{1}{1-\beta}+\cfrac{1}{1+\beta}\right)\cfrac{d\beta}{2}=\cfrac{1}{2}\ln\left(\cfrac{1+\beta}{1-\beta}\right)\biggl|_{0}^{\beta}=\cfrac{1}{2}\ln\left(\cfrac{1+\beta}{1-\beta}\right)
$$

Пусть скорость корабля $v_i$. Определим $\beta_i$, соответствующее моменту встречи корабля и ракеты. Приравнивая $x$ и $v_it_i$, получим:
$$x=\cfrac{c^2(\gamma_i-1)}{g}=v_it_i=\cfrac{cv_i\beta_i\gamma_i}{g}\Rightarrow 1-\cfrac{v_i\beta_i}{c}=\cfrac{1}{\gamma}
$$
Возведём в квадрат:
$$1-\cfrac{2v_i\beta_i}{c}+\cfrac{v^2\beta^2_i}{c^2}=1-\beta^2_i\Rightarrow \beta_i=\cfrac{2v_i/c}{1+(v_i/c)^2}
$$
Таким образом, для $\tau_i$ имеем:
$$\tau_i=\cfrac{c}{2g}\ln\left(\cfrac{1+\cfrac{2v_i/c}{1+(v_i/c)^2}}{1-\cfrac{2v_i/c}{1+(v_i/c)^2}}\right)=\cfrac{c}{g}\ln\left(\cfrac{c+v_i}{c-v_i}\right)
$$
Подставляя $v_1=v$ и $v_2=2v$, для $\Delta{\tau}=\tau_2-\tau_1$ находим:

Второе решение: Во многом первое решение повторяет второе. Отличие в том, что связь $x$ и $\beta$ получается намного быстрее. Рассмотрим преобразование продольной компоненты силы между системами отсчёта:

$$F_x=\cfrac{dp_x}{dt}=\cfrac{\gamma(dp_{x'}+\beta dE'/c)}{\gamma(dt'+\beta dx'/c)}=\cfrac{F_{x'}+\beta (\vec{F}'\cdot\vec{v}')/c}{1+\beta v_{x'}/c}
$$

В собственной системе отсчёта $\vec{v}'=0$, поэтому:

$$F_x=F_x'
$$

Таким образом, на ракету в ЛСО действует постоянная сила, равная $mg$. Запишем закон изменения энергии:

$$A=F_xx=mgx=\Delta{E}=K=mc^2(\gamma-1)
$$

где $K$ - кинетическая энергия ракеты.

Таким образом:

$$x(\beta)=\cfrac{c^2(\gamma-1)}{g}
$$

Далее для связи $\beta$ и $t$ воспользуемся законом изменения импульса:
$$\cfrac{dp_x}{dt}=F_x=mg\Rightarrow m\gamma\beta c=mgt\Rightarrow \gamma\beta c=gt
$$

Далее решение совпадает с первым:
Запишем условие встречи ракеты и корабля:
$$x=\cfrac{c^2(\gamma_i-1)}{g}=v_it_i=\cfrac{v_ic\gamma_i\beta_i}{g}\Rightarrow 1-\cfrac{v_i\beta_i}{c}=\cfrac{1}{\gamma}\Rightarrow \beta_i=\cfrac{2v_i/c}{1+(v_i/c)^2}
$$
Для $d\tau$ имеем:
$$d\tau=\cfrac{dt}{\gamma}=\cfrac{dx}{\gamma\beta c}=\cfrac{c}{g}\cfrac{d\gamma}{\gamma\beta}=\cfrac{c\gamma^2d\beta}{g}
$$
Откуда:
$$\cfrac{g\tau}{c}=\int\limits_{0}^{\beta}\cfrac{d\beta}{1-\beta^2}=\int\limits_{0}^{\beta}\left(\cfrac{1}{1-\beta}+\cfrac{1}{1+\beta}\right)\cfrac{d\beta}{2}=\cfrac{1}{2}\ln\left(\cfrac{1+\beta}{1-\beta}\right)\biggl|_{0}^{\beta}=\cfrac{1}{2}\ln\left(\cfrac{1+\beta}{1-\beta}\right)
$$
Подставляя $\beta_2$ и $\beta_1$, соответствующие $v_2=2v$ и $v_1=v$, находим:

Третье решение: Воспользуемся параметром быстроты $\theta$: $$\theta=\mathrm{arcth}\left(\cfrac{v_x}{c}\right) $$ Напомним, что если система отсчёта $x'$ движется относительно лабораторной со скорость, определяемой параметром быстроты $\theta'$, а в данной системе отсчёта вдоль линии её движения движется частица со скоростью, определяемой параметром быстроты $\theta_\text{отн}$, то параметр быстроты частицы в лабораторной системе отсчёта определяется выражением: $$\theta=\theta'+\theta_\text{отн} $$ 

Его аддитивность напрямую следует из преобразования скоростей:

$$v_x=\cfrac{v_{x'}+\beta c}{1+\beta v_{x'}/c}=c\cdot\cfrac{\tanh\theta_\text{отн}+\tanh\theta'}{1+\tanh\theta_\text{отн}\tanh\theta'}=c\tanh(\theta_\text{отн}+\theta')
$$

Также сразу отметим, что гамма-фактор равен: $$\gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1-\cfrac{v^2}{c^2}}}=\cosh\theta $$

В данной задаче мы будем пользоваться двумя системами отсчёта:
1) $x$ - инерциальная система отсчёта, в которой корабль во время запуска ракет неподвижен;
2) $x'$ - инерциальная система отсчёта, в произвольный момент времени движущаяся таким образом, что корабль в ней неподвижен. Каждому моменту относится своя система отсчёта $x'$.
Также ракеты, движущиеся со скоростями $v$ и $2v$, будем характеризовать параметрами быстроты $\theta_1$ и $\theta_2$ соответственно.

Получим зависимость быстроты корабля в системе $x$ в зависимости от собственного времени $\tau$. Для этого рассмотрим его движение в системе $x'$:
$$\cfrac{du}{d\tau}=c\cfrac{d\tanh{\theta_\text{отн}}}{d\tau}=\cfrac{c}{\cosh^2\theta_\text{отн}}\cfrac{d\theta_\text{отн}}{d\tau}=c\cfrac{d\theta}{d\tau}
$$
поскольку $\theta'=const$ и в рассматриваемый момент $\theta_\text{отн}=0$.
Имеем:
$$\cfrac{d\theta}{d\tau}=\cfrac{g}{c}\Rightarrow{\theta=\cfrac{g\tau}{c}}
$$

Получим связь параметра быстроты корабля с его координатой и прошедшей в $x$ системе временем.
Из преобразования Лоренца для времени получим:
$$dt=\gamma d\tau=\cosh\theta d\tau=\cfrac{g}{c}\cosh\theta d\theta\Rightarrow{t=\cfrac{c}{g}\sinh\theta}
$$
Для перемещений корабля получим:
$$dx=vdt=c\tanh\theta dt=\cfrac{c^2}{g}\sinh\theta d\theta\Rightarrow{x=\cfrac{c^2}{g}\left(\cosh\theta-1\right)}
$$

В момент встречи корабля с ракетой, определяемой параметром быстроты $\theta_i$ их координаты совпадают в $x$ системе. Тогда:
$$\cfrac{c^2}{g}\left(\cosh\theta-1\right)=\cfrac{c^2}{g}\tanh\theta_i\sinh\theta\Rightarrow{\tanh\theta_i=\cfrac{\cosh\theta-1}{\sinh\theta}=\tanh\cfrac{\theta}{2}}
$$
Отсюда находим:
$$\theta=2\theta_i
$$
Тогда встреча корабля и ракеты произошло через время $\tau_i$, равное:
$$\tau_i=\cfrac{2c\theta_i}{g}
$$
откуда окончательно получим:

Четвёртое решение: