$$\large\textbf{Теорема Томсона}
$$
Утверждение о том, что $\Gamma=\oint_l\vec{v}\cdot{d\vec{r}}=0$, где $\Gamma$ обозначает циркуляцию вектора скорости $\vec{v}$ по контуру $l$, является следствием теоремы Томсона.
Рассмотрим замкнутый контур $l$, проведенный внутри несжимаемой, невязкой жидкости в некоторый момент времени. Контур состоит из фиксированного набора «жидких частиц». С течением времени эти частицы перемещаются, а с ними вместе деформируется составленный из них «жидкий контур» $l$. Утверждение теоремы Томсона состоит в следующем:
$$\Gamma=\oint_l\vec{v}\cdot{d\vec{r}}=const
$$
Докажем теорему Томсона. Для этого найдём выражение для производной $\Gamma$ по времени:
$$\displaystyle\frac{d\Gamma}{dt}=\oint_l\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot{d\vec{r}}+\oint_l\vec{v}\cdot{d\left(\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt}\right)}
$$
Но $\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}$, а $\displaystyle\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}$ поэтому:
$$\displaystyle\frac{d\Gamma}{dt}=\oint_l\vec{a}\cdot{d\vec{r}}+\oint_l\vec{v}\cdot{d\vec{v}}
$$
Второй интеграл обращается в ноль, поскольку интегрирование ведётся по замкнутому контуру. Отсюда получим:
$$\displaystyle\frac{d\Gamma}{dt}=\oint_l\vec{a}\cdot{d\vec{r}}
$$
Пусть $p$ - давление в жидкости, а $\rho$ - её плотность. Если других внешних сил нет, то для ускорения жидкости можно записать:
$$\vec{a}=-\displaystyle\frac{\nabla{p}}{\rho}
$$
Тогда выражение для производной циркуляции по времени можно переписать в виде:
$$\displaystyle\frac{d\Gamma}{dt}=-\displaystyle\frac{1}{\rho}\oint_l d\vec{r}\cdot{\nabla{p}}
$$
Но $d\vec{r}\cdot{\nabla{p}}=dp$, поэтому интеграл по замкнутому контуру также обращается в ноль. Отсюда можно сделать следующий вывод:
$$\Gamma=const
$$
Если в движение приводится изначально неподвижная жидкость, то из теоремы Томсона следует, что в ней не возникает вихрей, а также для любого контура верно утверждение о нулевой циркуляции вектора скорости.
$$\large\textbf{Решение задачи}
$$
$$\textbf{Уравнения для жидкости}
$$
Рассмотрим движение рассматриваемого тела в жидкости с некоторой скоростью $\vec{v}_0$.
1) Движение тела практически не возмущает удалённые элементы жидкости, поэтому на бесконечном удалении от тела:
$$
\vec{v}_{\infty}\to{0}
$$
2) Пусть $\vec{n}$ - вектор нормали к поверхности тела в некоторой его точке. Поскольку тело твёрдое, то компонента вектора скорости жидкости, направленная вдоль вектора нормали, должна быть равна нормальной компоненте скорости данной точки тела, т.е:
$$v_{\perp}=\vec{v}_0\cdot{\vec{n}}
$$
3) Помимо равной нулю циркуляции $\Gamma$ в любом контуре жидкости, также нулю равен и поток $\Phi$ через любую замкнутую поверхность, поскольку жидкость несжимаемая.
$$\textbf{Уравнения для электрического поля тела}
$$
Рассмотрим собственное электрическое поле того же тела, помещённого в однородное поле $\vec{E}_0$.
1) Циркуляция $\gamma$ вектора электрического поля $\vec{E}$ по любому замкнутому контуру равна нулю, а поток $\Phi$ равен нулю через любую замкнутую поверхность, не пересекающую тело.
2) На расстояниях от тела, много больших его характерных размеров, его поле описывается полем точечного диполя, убывающего с расстоянием по закону $\sim\displaystyle\frac{1}{r^3}$, поэтому на больших расстояниях от тела $\vec{E}_{\infty}\to{0}$.
3) Поскольку тело является металлическим, внутри тела электрическое поле $\vec{E}=\vec{0}$. Это значит, что распределённые по поверхности тела заряды создают внутри него однородное поле, равное:
$$\vec{E}_{\text{внут}}=-\vec{E}_0
$$.
Далее воспользуемся тем, что если это тело той же формы из однородного диэлектрика поместить в однородное электрическое поле $\vec{E}_0$, то электрическое поле $\vec{E}$ внутри него также будет однородным. Однородный диэлектрик характеризуется диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$, связывающей вектор электростатической индукции $\vec{D}$ с вектором электрического поля $\vec{E}$ внутри тела:
$$\vec{D}=\varepsilon\varepsilon_0\vec{E}
$$
С другой стороны, вектор электростатической индукции $\vec{D}$ связан с векторами электрического поля $\vec{E}$ и поляризации $\vec{P}$ следующим образом:
$$\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}
$$
откуда с учётом однородности электрического поля $\vec{E}$ получим:
$$\vec{P}=(\varepsilon-1)\varepsilon_0\vec{E}=const
$$
Таким образом, вектор поляризации $\vec{P}$ также является однородным.
Тогда и наше рассматриваемое тело можно считать поляризованным равномерно, причём вектор поляризации $\vec{P}$ равен:
$$\vec{P}=\displaystyle\frac{\vec{p}}{V}=\displaystyle\frac{\alpha\vec{E}_0}{V}
$$
С учётом этого, выразим через вектор нормали $\vec{n}$ поверхностную плотность заряда тела:
$$\sigma=\vec{P}\cdot{\vec{n}}=\displaystyle\frac{\alpha(\vec{E}_0\cdot{\vec{n}})}{V}
$$
Связь нормальных компонент электрического поля внутри и вне тела следующая:
$$(\vec{E}_{\text{внеш}}-\vec{E}_{\text{внут}})\cdot{\vec{n}}=\displaystyle\frac{\sigma}{\varepsilon_0}
$$
откуда получим выражение для нормальной компоненты вектора электрического поля на внешней поверхности тела:
$$E_{\perp}=\vec{E}_0\left(\displaystyle\frac{\alpha}{\varepsilon_0 V}-1\right)\cdot{\vec{n}}
$$
Теперь запишем в виде систем уравнения, описывающие распределения поля скорости и электрического поля:
$$\begin{equation*}
\begin{cases}
\displaystyle\oint_S \vec{v}\cdot{d\vec{S}}=0
\\
\\
\displaystyle\oint_l\vec{v}\cdot{d\vec{r}}=0
\\
\\
v_{\perp}=\vec{v}_0\cdot{\vec{n}}
\\
\\
\vec{v}_{\infty}=0
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
\displaystyle\oint_S \vec{E}\cdot{d\vec{S}}=0
\\
\\
\displaystyle\oint_l\vec{S}\cdot{d\vec{r}}=0
\\
\\
E_{\perp}=\vec{E}_0\left(\displaystyle\frac{\alpha}{\varepsilon_0 V}-1\right)\cdot{\vec{n}}
\\
\\
\vec{E}_{\infty}=0
\end{cases}
\end{equation*}
$$
Как видно из совместной записи систем, их решения должны совпадать с точностью до постоянного множителя.
$$\textbf{Нахождение присоединённой массы}
$$
Пусть $E_k=\displaystyle\int_{V_{\text{внеш}}}\frac{\rho v^2}{2}dV$ - кинетическая энергия движения жидкости. Интегрирование проводится по всему объёму вне шара. Тогда присоединённая масса равна:
$$\mu=\displaystyle\frac{2E_k}{v^2_0}
$$
С учётом коэффициента пропорциональности, выражение для присоединённой массы можно переписать в следующем виде:
$$\mu=\displaystyle\frac{\rho}{E^2_0\left(\displaystyle\frac{\alpha}{\varepsilon_0 V}-1\right)^2}\displaystyle\int_{V_{\text{внеш}}} E^2dV
$$
Величина $\displaystyle\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}$ является объёмной плотностью электрического поля в вакууме. Тогда полная энергия поля зарядов, распределённых по поверхности тела, равна:
$$W=\displaystyle\int_{V_{\text{внут}}} \displaystyle\frac{\varepsilon_0E^2dV}{2} + \displaystyle\int_{V_{\text{внеш}}} \displaystyle\frac{\varepsilon_0 E^2dV}{2}
$$
Поскольку внутри тела поле однородно и равно $-\vec{E}_0$:
$$\displaystyle\frac{2W}{\varepsilon_0}-E^2_0 V=\int_{V_{\text{внеш}}} E^2dV
$$
Найдём полную энергию зарядов на поверхности тела. Поскольку распределение заряда является непрерывным:
$$W=\frac{1}{2}\int \varphi dq
$$
где $\varphi$ - потенциал, создаваемый всеми зарядами тела в месте нахождения заряда $dq$, а множитель $\displaystyle\frac{1}{2}$ учитывает повтор элементов при суммировании энергий каждого отдельного заряда.
Потенциал $\varphi$ однородного поля $\vec{E}$ равен
$$\varphi=-\vec{E}\cdot{\vec{r}}+C
$$
Внутри тела поле однородно, поэтому:
$$\varphi=\vec{E}_0\cdot{\vec{r}}+C
$$
Поскольку суммарный заряд тела равен нулю, энергия не зависит от выбора константы. Получим:
$$W=\frac{1}{2}\int\vec{E}_0\cdot{\vec{r}}dq=\displaystyle\frac{\vec{E}_0}{2}\cdot{\int \vec{r}dq}
$$
Величина $\displaystyle\int \vec{r}dq$ по определению является дипольным моментом рассматриваемой системы. Тогда окончательно получим:
$$W=\displaystyle\frac{\vec{E}_0\cdot{\vec{p}}}{2}=\displaystyle\frac{\alpha E^2_0}{2}
$$
Далее, находим:
$$\int_{V_{\text{внеш}}} E^2dV=E^2_0 V\left(\displaystyle\frac{\alpha}{\varepsilon_0 V}-1\right)
$$
и окончательно для присоединённой массы получим:
$\textit{Примечание:}$ для шара, радиуса $R$ присоединённая масса равна $\mu_{\text{ш}}=\displaystyle\frac{2\pi R^3\rho}{3}$, а для цилиндра радиуса $R$ и длины $L\gg{R}$ , движущегося перпендикулярно его оси, присоединённая масса равна $\mu_{\text{ц}}=\pi R^2L\rho$ . В качестве упражнения полезно найти коэффициенты $\alpha$ для шара и цилиндра, а затем убедиться, что выражения для присоединённых масс действительно такие.