Найдём дипольный момент шара, помещённого в однородное электрическое поле $\vec{E}_0$.
Электрическое поле шара эквивалентно полю точечного диполя с дипольным моментом $\vec{p}_0$, помещённого в его центре, тогда суммарное поле в точке, имеющей радиус-вектор $\vec{r}$ относительно центра шара, равняется:
$$\vec{E}=\vec{E}_0+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left(\frac{3(\vec{p}_0\cdot{\vec{r}})\vec{r}}{r^2}-\vec{p}_0\right)
$$
Запишем условие равенства нулю тангенциальной компоненты поля $\vec{E}$ на поверхности шара
$$\left[\vec{E}\times\vec{r}\right]=0
$$
откуда найдём дипольный момент шара $\vec{p}_0$:
$$\vec{p}_0=4\pi\varepsilon_0 R^3\vec{E}_0
$$
Перейдём к системе из двух шаров. Помимо воздействия на них внешнего поля, шары также влияют друг на друга. Это приводит к тому, что суммарный дипольный момент системы зависит от её расположения.
Найдём суммарным дипольный момент системы. Поскольку $R\ll{L}$, можно работать в линейном приближении. Это означает, что поля диполей, возникших из-за помещения шаров во внешнее поле, можно считать однородными.
Введём некоторую нумерацию шаров $1$ и $2$. Пусть $\vec{r}$ - радиус-вектор шара $2$ относительно шара $1$. Тогда радиус-вектор шара $1$ относительно шара $2$ равен $-\vec{r}$. Тогда изменение вектора дипольного момента следующее:
$$\Delta{\vec{p}}=\Delta{\vec{p}_1}+\Delta{\vec{p}_2}=4\pi\varepsilon_0 R^3\left(\vec{E}(\vec{r})+\vec{E}(-\vec{r})\right)=\frac{8\pi\varepsilon_0R^6}{L^3}\left(\frac{3(\vec{E}_0\cdot{\vec{r}})\vec{r}}{L^2}-\vec{E}_0\right)
$$
Момент сил, действующих на систему диполей с суммарным дипольным моментом $\vec{p}$ со стороны однородного внешнего поля:
$$\vec{M}=\left[\vec{p}\times\vec{E}_0\right]
$$
Откуда:
$$\vec{M}=\left[\Delta{\vec{p}}\times\vec{E}_0\right]=\frac{24\pi\varepsilon_0 R^6(\vec{E}_0\cdot{\vec{r}})}{L^5}\left[\vec{r}\times\vec{E}_0\right]
$$
В положении равновесие момент силы равен нулю, однако таких расположений стержня два - вдоль направления электрического поля и перпендикулярно ему. Положение стержня, перпендикулярное направлению электрического поля, является неустойчивым. Тогда далее из уравнения динамики вращательного движения относительно центра масс имеем:
$$I\ddot{\alpha}=\frac{ML^2\ddot{\alpha}}{2}=-\frac{24\pi\varepsilon_0 R^6E^2_0\alpha}{L^3}
$$
Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой $\omega_0$, равной
$$\omega_0=\sqrt{\frac{48\pi\varepsilon_0R^6E^2_0}{ML^5}}
$$
откуда получим выражение для периода колебаний $T$: