Пусть $r$ - расстояние от центра линзы до источника, а $R$ - до изображения. Используя формулу тонкой линзы и подобие треугольников, получим:
$$\dfrac{r}{R}=1+\dfrac{d}{R}$$
Запишем уравнение эллиптической орбиты относительно центра линзы.
$$
\dfrac{(d - f)^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1
$$
Посчитаем $r^2$ двумя способами. Из формулы тонкой линзы:
$$
r^2 = R^2\left( 1 + \dfrac{d}{F} \right)^2
$$
Из уравнения эллипса:
$$
d^2 + b^2 - \dfrac{b^2}{a^2}(d - F)^2 = r^2
$$
После преобразований получим квадратное уравнение относительно $d$.
$$
\left( \dfrac{c^2}{a^2} - \dfrac{R^2}{F^2} \right) d^2 + 2 \left (\dfrac{b^2F}{a^2} - \dfrac{R^2}{F} \right) d + b^2 - \dfrac{b^2F^2}{a^2} - R^2 = 0
$$
Поскольку равенство в уравнении вида $x^2p + qx + r = 0$ при условии постоянства $R$ должно быть выполнено при всех $x$, то $p = q = r = 0$.
$$
$$
Решая полученную систему уравнений, получим:
$$
R = \dfrac{F}{\sqrt{2}} , \; b = c = F, \; a = \sqrt{2} F.
$$
Поскольку $c = F$, центр линзы должен являться одним из фокусов эллипса.
$$
$$
Если центр линзы совпадает с положением притягивающего заряда, то возможны два положения центра эллипса: 1) данный на рисунке фокус линзы; 2) точка, находящаяся на том же расстоянии от заряда, что и фокус данный на рисунке, положение которой определим, проведя окружность, центр которой совпадает с зарядом, а радиус равен фокусному расстоянию.
$$
$$
Если положение положение линзы не совпадает с положением заряда, то возможны ещё два случая: 1) если данный на рисунке фокус является центром эллипса, вновь проведём окружность радиуса $F$, но теперь с центром в данном фокусе, точка пересечения с главной оптической осью и будет являться центром линзы; 2) если данный на рисунке фокус не является центром эллипса, то необходимо разделить на 3 части отрезок, соединяющий заряд и фокус на рисунке; в этом случае центр линзы находится на расстоянии $\dfrac{SF}{3}$ от фокуса.
$$
$$
Когда источник оказывается по другую стороны от плоскости линзы, система из первых двух уравнений нарушается,поскольку в первом уравнении должен стоять модуль $d$, а в уравнении эллипса - нет.Поэтому движение по дуге окружности происходит, пока частица находится в одном полупространстве вместе с центром эллипса, то есть дуга является половиной окружности.
$$
$$
После построения возможных положений центра линзы, чтобы восстановить дугу окружности, построим изображение источника в линзе в момент, когда он пролетает над центром эллипса. Для этого соединим положение источника с центром линзы, затем проведём прямую параллельную главной оптической оси до пересечения с линзой и соединим точку пересечения с центром эллипса. Точка пересечения последних двух отрезков является изображением. С помощью циркуля построим половину окружности.