\textbf{В этой задаче погрешности оценивать не требуется!} Этой задаче отвечает программа PE2.
Задачи про колебания легко решать аналитически, если они описываются линейными уравнениями. Найти нелинейные поправки уже намного сложнее. В этой задаче мы исследуем их численно.
Для экспериментального наблюдения нелинейных колебаний можно использовать следующую установку. В центре упругого жгута закреплен магнитный брусок, момент инерции которого $I = 5 \cdot 10^{-5}~\text{кг} \cdot \text{м}^2$. При отклонении бруска от равновесия на угол $x$ (в радианах), на него действует возвращающий момент сил
$M(x) = k_1 x + k_3 x^3$, где $k_1 = 6 \cdot 10^{-2} ~\text{Н} \cdot \text{м}$, $k_3 = 4 \cdot 10^{-2}~\text{Н} \cdot \text{м}$. Для возбуждения колебаний на брусок можно воздействовать магнитным полем, которое создается катушками с током (см. рисунок).
В этой задаче мы будем исследовать колебания, численно решая соответствующие дифференциальные уравнения. Для этого вам предоставлена программа. В ней можно задать параметры уравнения и начальные условия. При нажатии на кнопку "Построить численное решение" oна выведет график решения — зависимость координаты от времени для соответствующей части задачи. Отдельные участки этого графика можно увеличивать (для этого нажмите на кнопку под графиком с изображением лупы и всплывающей надписью Zoom to Rectangle, а затем выделить нужный участок графика), чтобы считать значения с нужной точностью. Вернуться к предыдущему виду графика, нажмите на стрелку (<-), а если это не сработает — постройте численное решение заново.
Численные данные можно вводить в программу с помощью окон справа. Общий для всех частей блок позволяет задать начальное значение координаты ($x_0$) и ее производной по времени ( скорости $v_0$).
Кроме этого, вы можете задать полное время $T$ (в секундах), на котором определено решение (тогда решение будет найдено на интервале времени $0< t
В каждой из частей задачи вы можете задать параметры соответствующего уравнения. Смысл этих параметров объясняется в соответствующих частях. Названия переменных приведены рядом с соответствующими полями (Omega — $\Omega$, omega — $\omega$, Epsilon — $\varepsilon$, w0 — $\omega_0$, Gamma — $\gamma$, mu — $\mu$).
\textbf{При решении всех пунктов задачи указывайте используемые значения параметров и начальных условий!}
$$
\ddot{x} + \omega_0 ^2 x + \varepsilon x^3 = 0.
$$
Укажите численные значения частоты свободных гармонических колебаний малой амплитуды $\omega_0$ и параметра нелинейности $\varepsilon$.
\textbf{Далее в этом части мы будем исследовать записанное выше уравнение с найденными вами параметрами!}
$$
T = T_0 (1 + \alpha A^n).
$$
Здесь $T_0$ — период колебаний малой амплитуды.
Определите из ваших данных параметры $\alpha$, $n$.
$$
x = a \cos \omega t + b \cos 3 \omega t.
$$
Исследуйте зависимость амплитуды гармоники утроенной частоты $b$ от амплитуды колебаний $A$. Исследуйте ту же область амплитуд $A < 0.5$ и определите как можно точнее значение $b$ для 5 различных амплитуд.
\textit{Примечание:} Исследуемый эффект достаточно мал. Убедитесь, что вы проводите вычисления и измерения с достаточной точностью, чтобы его качественно наблюдать. При необходимости вы можете уменьшить шаг по времени для численного решения.
Пусть теперь на магнитный брусок действует внешний момент сил, амплитуда которых задается параметром $f$, частота $\Omega$. Tогда уравнение движения будет иметь вид.
$$
\ddot{x} + 2 \gamma \dot {x}+ \omega_0^2 x + \varepsilon x^3 = f \cos \Omega t
$$
Здесь мы учитываем еще и вязкое трение, величина которого задается постоянной $\gamma$.
В этой части вам неизвестны значения параметров $\omega_0$, $\gamma$ и $\varepsilon$, но вы можете регулировать амплитуду $f$ и частоту приложенного внешнего момента, а также начальные условия.
Предположим, что результирующее установившееся колебание можно с разумной точностью описать функцией
$$
x(t) = A \cos (\Omega t + \varphi).
$$
Тогда величину $\varphi$ будем называть сдвигом фаз колебаний (по отношению к внешнему воздействию). Не ограничивая общности можно считать, что $- \pi < \varphi \leq \pi$.
Когда амплитуда внешнего момента сил $f$ достаточно велика, становятся существенными нелинейные слагаемые. Из-за этого в области вблизи резонанса одному набору параметров $f$, $\Omega$ может отвечать несколько значений амплитуды колебаний. То установившееся колебание, которое фактически установится, зависит от начальных условий. Это аналогично явлению гистерезиса в магнетизме.
Рассмотрим колебания, для которых частота немного меняется со временем (то есть $\mu \ll 1$), они описываются уравнением
$$
\ddot{x} +\omega_0^2 (1 + \mu \cos \Omega t)x = 0.
$$
При определенных значениях $\mu$ и $\Omega$ амплитуда колебаний будет экспоненциально расти, при каких-то оставаться ограниченной.
Используйте в этой части численное значение $\omega_0 = 20 ~\text{c}^{-1}$. До пункта C5 считайте, что трения и нелинейности нет ($\varepsilon = 0$, $\gamma = 0$ в параметрах уравнения в программе).
Определим отклонение от резонансной частоты $\delta = \Omega - 2 \omega_0 $.
Амплитуда колебаний будет возрастать, если $\delta$ не слишком велико.
На плоскости $\delta$, $\mu$ изобразите область, где амплитуда колебаний растет.
Рассматривайте область $\mu \ll 1$, $\delta \ll \omega_0$.
Подсказка: может быть полезным изучить зависимость $s (\mu)$ при постоянной частоте $\delta$ для нескольких значений $\delta$. При этом зависимость $s^2$ от $\mu^2$ имеет очень простой вид.
В области резонанса в линейном приближении амплитуда колебаний растет неограниченно. Поэтому амплитуда установившихся колебаний определяется нелинейными слагаемым, и нам нужно рассмотреть полное уравнение
$$
\ddot{x} +2 \gamma \dot{x} + \omega_0^2 (1 + \mu \cos \Omega t)x + \varepsilon x^3 = 0.
$$
Математический маятник представляет собой груз, закрепленный на невесомом стрежне. Стержень может свободно вращаться вокруг некоторой оси. К маятнику приложен некоторый постоянный момент силы. Тогда угол отклонения маятника от равновесия $x$ удовлетворяет уравнению
$$
\ddot{x} + 2 \gamma \dot{x} + \omega_0^2 \sin x = f.
$$
Здесь $\omega_0 = 20 \text{с}^{-1}$ — частота малых колебаний, а величина $f$ пропорциональна моменту внешних сил.
При достаточно больших значениях $\gamma$ возможен режим движения, при котором маятник вращается с постоянной средней угловой скоростью.
При $f- f_0 \ll f_0$ зависимость средней угловой скорости от приложенного момента имеет вид $\langle \omega \rangle \sim (f - f_0)^\alpha$. Найдите значение постоянной $\alpha$.