\textbf{В этой задаче погрешности оценивать не требуется!} Этой задаче отвечает программа PE2.

Задачи про колебания легко решать аналитически, если они описываются линейными уравнениями. Найти нелинейные поправки уже намного сложнее. В этой задаче мы исследуем их численно.

Для экспериментального наблюдения нелинейных колебаний можно использовать следующую установку. В центре упругого жгута закреплен магнитный брусок, момент инерции которого $I = 5 \cdot 10^{-5}~\text{кг} \cdot \text{м}^2$. При отклонении бруска от равновесия на угол $x$ (в радианах), на него действует возвращающий момент сил
$M(x) = k_1 x + k_3 x^3$, где $k_1 = 6 \cdot 10^{-2} ~\text{Н} \cdot \text{м}$, $k_3 = 4 \cdot 10^{-2}~\text{Н} \cdot \text{м}$. Для возбуждения колебаний на брусок можно воздействовать магнитным полем, которое создается катушками с током (см. рисунок).

В этой задаче мы будем исследовать колебания, численно решая соответствующие дифференциальные уравнения. Для этого вам предоставлена программа. В ней можно задать параметры уравнения и начальные условия. При нажатии на кнопку "Построить численное решение" oна выведет график решения – зависимость координаты от времени для соответствующей части задачи. Отдельные участки этого графика можно увеличивать (для этого нажмите на кнопку под графиком с изображением лупы и всплывающей надписью Zoom to Rectangle, а затем выделить нужный участок графика), чтобы считать значения с нужной точностью. Вернуться к предыдущему виду графика, нажмите на стрелку (<-), а если это не сработает – постройте численное решение заново.

Численные данные можно вводить в программу с помощью окон справа. Общий для всех частей блок позволяет задать начальное значение координаты ($x_0$) и ее производной по времени ( скорости $v_0$).
Кроме этого, вы можете задать полное время $T$ (в секундах), на котором определено решение (тогда решение будет найдено на интервале времени $0< t <T$) и шаг по времени (тоже в секундах), используемый при нахождении решения. Почти всегда рекомендуется использовать шаг времени по умолчанию (0.001 с). Если вам потребуется увеличить точность решения, можете уменьшить шаг. Однако время нахождения решения при этом увеличится.

В каждой из частей задачи вы можете задать параметры соответствующего уравнения. Смысл этих параметров объясняется в соответствующих частях. Названия переменных приведены рядом с соответствующими полями (Omega – $\Omega$, omega – $\omega$, Epsilon – $\varepsilon$, w0 – $\omega_0$, Gamma – $\gamma$, mu – $\mu$).

\textbf{При решении всех пунктов задачи указывайте используемые значения параметров и начальных условий!}

Часть А. Свободные колебания (4 балла)

A1  ^0.20 Запишите уравнение колебаний бруска без учета трения и внешних сил в виде
$$
\ddot{x} + \omega_0 ^2 x + \varepsilon x^3 = 0.
$$
Укажите численные значения частоты свободных гармонических колебаний малой амплитуды $\omega_0$ и параметра нелинейности $\varepsilon$.

\textbf{Далее в этом части мы будем исследовать записанное выше уравнение с найденными вами параметрами!}

A2  ^1.00 Снимите зависимость периода от амплитуды колебаний $T(A)$. Опишите методику (какие начальные условия и времена использовали, по каким формулам определяли период). Исследуйте диапазон амплитуд, при которых период меняется не более чем на 10%. Проведите не менее 15 измерений при различных значениях амплитуды.

A3  ^0.80 При достаточно малых амплитудах зависимость периода от амплитуды имеет вид
$$
T = T_0 (1 + \alpha A^n).
$$
Здесь $T_0$ – период колебаний малой амплитуды.
Определите из ваших данных параметры $\alpha$, $n$.

A4  ^1.50 При достаточно малой амплитуде колебаний зависимость угла от времени имеет вид
$$
x = a \cos \omega t + b \cos 3 \omega t.
$$
Исследуйте зависимость амплитуды гармоники утроенной частоты $b$ от амплитуды колебаний $A$. Исследуйте ту же область амплитуд $A < 0.5$ и определите как можно точнее значение $b$ для 5 различных амплитуд.

\textit{Примечание:} Исследуемый эффект достаточно мал. Убедитесь, что вы проводите вычисления и измерения с достаточной точностью, чтобы его качественно наблюдать. При необходимости вы можете уменьшить шаг по времени для численного решения.

A5  ^0.50 Известно, что при малых амплитудах $b = \beta A^3$. Определите по вашим данным коэффициент $\beta$.

Часть B. Вынужденные колебания (3.5 балла)

Пусть теперь на магнитный брусок действует внешний момент сил, амплитуда которых задается параметром $f$, частота $\Omega$. Tогда уравнение движения будет иметь вид.
$$
\ddot{x} + 2 \gamma \dot {x}+ \omega_0^2 x + \varepsilon x^3 = f \cos \Omega t
$$
Здесь мы учитываем еще и вязкое трение, величина которого задается постоянной $\gamma$.

В этой части вам неизвестны значения параметров $\omega_0$, $\gamma$ и $\varepsilon$, но вы можете регулировать амплитуду $f$ и частоту приложенного внешнего момента, а также начальные условия.

B1  ^1.00 Как можно точнее определите значения $\omega_0$, $\varepsilon$, $\gamma$.

Предположим, что результирующее установившееся колебание можно с разумной точностью описать функцией
$$
x(t) = A \cos (\Omega t + \varphi).
$$
Тогда величину $\varphi$ будем называть сдвигом фаз колебаний (по отношению к внешнему воздействию). Не ограничивая общности можно считать, что $- \pi < \varphi \leq \pi$.

B2  ^1.50 Выберем значение $f = 25 ~\text{c}^{-2}$. Постройте графики зависимости амплитуды колебаний и сдвига фаз от частоты. Для сравнения на тех же графиках постройте аналогичные теоретические зависимости без учета нелинейности.

Когда амплитуда внешнего момента сил $f$ достаточно велика, становятся существенными нелинейные слагаемые. Из-за этого в области вблизи резонанса одному набору параметров $f$, $\Omega$ может отвечать несколько значений амплитуды колебаний. То установившееся колебание, которое фактически установится, зависит от начальных условий. Это аналогично явлению гистерезиса в магнетизме.

B3  ^1.00 Выберите значение $f = 80 ~\text{c}^{-2}$. Постройте график зависимости амплитуды результирующих колебаний от частоты. Укажите область частот, в которой наблюдается гистерезис (то есть два значения амплитуды при одной и той же частоте).

Часть C. Параметрические колебания (4.5 балла)

Рассмотрим колебания, для которых частота немного меняется со временем (то есть $\mu \ll 1$), они описываются уравнением
$$
\ddot{x} +\omega_0^2 (1 + \mu \cos \Omega t)x = 0.
$$
При определенных значениях $\mu$ и $\Omega$ амплитуда колебаний будет экспоненциально расти, при каких-то оставаться ограниченной.
Используйте в этой части численное значение $\omega_0 = 20 ~\text{c}^{-1}$. До пункта C5 считайте, что трения и нелинейности нет ($\varepsilon = 0$, $\gamma = 0$ в параметрах уравнения в программе).

С1  ^1.00 Наиболее быстрый рост амплитуды колебаний наблюдается при частоте $\Omega \approx 2 \omega_0$.
Определим отклонение от резонансной частоты $\delta = \Omega - 2 \omega_0 $.
Амплитуда колебаний будет возрастать, если $\delta$ не слишком велико.
На плоскости $\delta$, $\mu$ изобразите область, где амплитуда колебаний растет.
Рассматривайте область $\mu \ll 1$, $\delta \ll \omega_0$.

С2  ^0.50 Определите уравнение для границы области $\delta(\mu)$. Запишите уравнение и найдите его параметры.

C3  ^1.50 В области параметрического резонанса зависимость амплитуды от времени имеет вид $A \sim e^{s t}$. Определите зависимость параметра $s$ от относительного изменения частоты $\mu$ и отстройки по частоте $\delta$. Используя численные данные, найдите форму зависимость $s(\mu,\, \delta)$ и определите ее параметры.

Подсказка: может быть полезным изучить зависимость $s (\mu)$ при постоянной частоте $\delta$ для нескольких значений $\delta$. При этом зависимость $s^2$ от $\mu^2$ имеет очень простой вид.

С4  ^1.00 Амплитуда колебаний растет также и вблизи области $\Omega \approx \omega_0$, при достаточно малых $\delta = \Omega - \omega_0$. Найдите границы области, при которой возможен рост амплитуды $\delta ( \mu)$. Изобразите эту область на плоскости $\delta$, $\mu$. Определите уравнение этой границы. (Подсказка: зависимость $\delta (\mu)$ имеет степенной вид.)

В области резонанса в линейном приближении амплитуда колебаний растет неограниченно. Поэтому амплитуда установившихся колебаний определяется нелинейными слагаемым, и нам нужно рассмотреть полное уравнение
$$
\ddot{x} +2 \gamma \dot{x} + \omega_0^2 (1 + \mu \cos \Omega t)x + \varepsilon x^3 = 0.
$$

С5  ^0.50 Пусть $\gamma = 0.2 ~\text{c}^{-1}$, $\varepsilon = 450 ~ \text{c} ^{-2}$. Нарисуйте на плоскости $\mu$, $\delta = \Omega - 2 \omega_0$ область, в которой амплитуда колебаний растет. Для $\delta = 0$ и $\mu = 0.05$ найдите амплитуду установившихся колебаний, а также время оцените время, за которое они устанавливаются.

Часть D. Маятник с вязким трением (1 балл)

Математический маятник представляет собой груз, закрепленный на невесомом стрежне. Стержень может свободно вращаться вокруг некоторой оси. К маятнику приложен некоторый постоянный момент силы. Тогда угол отклонения маятника от равновесия $x$ удовлетворяет уравнению
$$
\ddot{x} + 2 \gamma \dot{x} + \omega_0^2 \sin x = f.
$$
Здесь $\omega_0 = 20 \text{с}^{-1}$ – частота малых колебаний, а величина $f$ пропорциональна моменту внешних сил.
При достаточно больших значениях $\gamma$ возможен режим движения, при котором маятник вращается с постоянной средней угловой скоростью.

D1  ^1.00 В случае $\gamma = \omega_0/ 2$ найдите минимальное значение $f_0$, при котором возможно такое движение. (Начальный угол отклонения и начальную угловую скорость маятника считайте равными нулю.)
При $f- f_0 \ll f_0$ зависимость средней угловой скорости от приложенного момента имеет вид $\langle \omega \rangle \sim (f - f_0)^\alpha$. Найдите значение постоянной $\alpha$.