A1  ^0.20 Запишите уравнение колебаний бруска без учета трения и внешних сил в виде
$$
\ddot{x} + \omega_0 ^2 x + \varepsilon x^3 = 0.
$$
Укажите численные значения частоты свободных гармонических колебаний малой амплитуды $\omega_0$ и параметра нелинейности $\varepsilon$.

A1. 1 $\omega_0 = 34.64~\text{c}^{-1}$	0.10
A1. 2 $ \varepsilon = 800~ \text{с}^{-2} $	0.10

A2  ^1.00 Снимите зависимость периода от амплитуды колебаний $T(A)$. Опишите методику (какие начальные условия и времена использовали, по каким формулам определяли период). Исследуйте диапазон амплитуд, при которых период меняется не более чем на 10%. Проведите не менее 15 измерений при различных значениях амплитуды.

A2. 1 Указаны начальные условия	0.10
A2. 2 Диапазон измерений (максимальная амплитуда $A > 0.3$, отношение максимальной амплитуды к минимальной $A_{max}/A_{min} >2$)	0.15
A2. 3 Значения периода $T(A)$ при $A < 0.8$	15 × 0.05

A3  ^0.80 При достаточно малых амплитудах зависимость периода от амплитуды имеет вид
$$
T = T_0 (1 + \alpha A^n).
$$
Здесь $T_0$ — период колебаний малой амплитуды.
Определите из ваших данных параметры $\alpha$, $n$.

A3. 1 Выбор подходящих координат $\ln \frac{T_0 -T}{T_0}$ от $\ln A$ (или $T$ от $A^2$)	0.10
A3. 2 Оформление графика (оси, масштаб)	0.10
A3. 3 Точки нанесены на график	0.20
A3. 5 $n \in [1.9, 2]$	0.20
A3. 6 $\alpha\in [-0.25, \;-0.2]$	0.20

A4  ^1.50 При достаточно малой амплитуде колебаний зависимость угла от времени имеет вид
$$
x = a \cos \omega t + b \cos 3 \omega t.
$$
Исследуйте зависимость амплитуды гармоники утроенной частоты $b$ от амплитуды колебаний $A$. Исследуйте ту же область амплитуд $A < 0.5$ и определите как можно точнее значение $b$ для 5 различных амплитуд.

\textit{Примечание:} Исследуемый эффект достаточно мал. Убедитесь, что вы проводите вычисления и измерения с достаточной точностью, чтобы его качественно наблюдать. При необходимости вы можете уменьшить шаг по времени для численного решения.

A4. 1 M1 Идея линеаризации $x/\cos \omega t$ от $\cos^2 \omega t$	0.50
A4. 2 M2 Указан метод определения $b$	0.20
A4. 3 Точки на зависимости $x(t)$ (не более 5 для каждого значения амплитуды).	25 × 0.02
A4. 4 Значения $b$ (отклоняющиеся от правильного значения $(\varepsilon /32 \omega_0^2) A^3$ не более 50%)	5 × 0.10

A5  ^0.50 Известно, что при малых амплитудах $b = \beta A^3$. Определите по вашим данным коэффициент $\beta$.

A5. 1 Выбор координат	0.10
A5. 2 График или МНК	0.10
A5. 3 Значение $$ \beta \in [0.01,\; 0.05] $$	0.30

B1  ^1.00 Как можно точнее определите значения $\omega_0$, $\varepsilon$, $\gamma$.

B1. 1 Измерение периода	0.10
B1. 2 Измерение затухания колебаний	0.10
B1. 3 Использование постоянной силы для определения $\varepsilon$	0.20
B1. 4 $\omega_0 \in [26.1,\; 26.5] ~\text{c}^{-1}$	0.20
B1. 5 $\gamma \in [0.82,\, 0.88] ~\text{c}^{-1}$	0.20
B1. 6 $ \varepsilon \in [340, \, 380] ~\text{c}^{-2} $	0.20

B2  ^1.50 Выберем значение $f = 25 ~\text{c}^{-2}$. Постройте графики зависимости амплитуды колебаний и сдвига фаз от частоты. Для сравнения на тех же графиках постройте аналогичные теоретические зависимости без учета нелинейности.

B2. 1 Метод измерения фазы	0.10
B2. 2 Значения амплитуды	20 × 0.01
B2. 3 Значения фазы	20 × 0.03
B2. 4 Значения амплитуды вблизи резонанса (не менее 10 значений при частотах $25 -30 c^{-1}$)	0.10
B2. 5 Значения фазы вблизи резонанса (не менее 7 значений при частотах $25 -30 c^{-1}$)	0.10
B2. 6 График амплитуды	0.10
B2. 7 Теоретическая линия на графике амплитуды	0.10
B2. 8 График фазы	0.10
B2. 9 Теоретическая линия на графике фазы	0.10

B3  ^1.00 Выберите значение $f = 80 ~\text{c}^{-2}$. Постройте график зависимости амплитуды результирующих колебаний от частоты. Укажите область частот, в которой наблюдается гистерезис (то есть два значения амплитуды при одной и той же частоте).

B3. 1 Значения амплитуды в зависимости от частоты	20 × 0.02
B3. 2 Точки в области гистерезиса ($29 - 35 c^{-1}$)	10 × 0.02
B3. 3 График	0.20
B3. 4 Указана область гистерезиса $[30.5,\;33]c^{-1}$	0.20

С1  ^1.00 Наиболее быстрый рост амплитуды колебаний наблюдается при частоте $\Omega \approx 2 \omega_0$.
Определим отклонение от резонансной частоты $\delta = \Omega - 2 \omega_0 $.
Амплитуда колебаний будет возрастать, если $\delta$ не слишком велико.
На плоскости $\delta$, $\mu$ изобразите область, где амплитуда колебаний растет.
Рассматривайте область $\mu \ll 1$, $\delta \ll \omega_0$.

С1. 1 Нарисована область, ограниченная двумя прямыми, проходящими через начало координат	0.80
С1. 2 Указаны части плоскости, где амплитуда возрастает	0.20

С2  ^0.50 Определите уравнение для границы области $\delta(\mu)$. Запишите уравнение и найдите его параметры.

С2. 1 Написано, что зависимость линейная	0.10
С2. 2 Найден коэффициент $\delta \approx 10 \mu$	0.30
С2. 3 Указано, что область симметрична относительно замены $\mu \to - \mu$ (или найдена вторая прямая)	0.10

C3  ^1.50 В области параметрического резонанса зависимость амплитуды от времени имеет вид $A \sim e^{s t}$. Определите зависимость параметра $s$ от относительного изменения частоты $\mu$ и отстройки по частоте $\delta$. Используя численные данные, найдите форму зависимость $s(\mu,\, \delta)$ и определите ее параметры.

Подсказка: может быть полезным изучить зависимость $s (\mu)$ при постоянной частоте $\delta$ для нескольких значений $\delta$. При этом зависимость $s^2$ от $\mu^2$ имеет очень простой вид.

C3. 1 Измерения $s$	25 × 0.02
C3. 2 Есть график $s^2 $ от $\mu^2$ или аналогичный.	0.20
C3. 3 Найден коэффициент линейной зависимости для $s^2 (\mu^2)$: $\omega_0^2/4 = 100 c^{-2}$	0.20
C3. 4 Обоснованный вывод о том, что коэффициент линейной зависимости не зависит от $\delta$	0.20
C3. 5 Свободный член $-\delta^2$	0.20
C3. 6 Окончательная формула $s = \sqrt{\omega_0^2 \mu^2/4 - \delta^2}$	0.20

С4  ^1.00 Амплитуда колебаний растет также и вблизи области $\Omega \approx \omega_0$, при достаточно малых $\delta = \Omega - \omega_0$. Найдите границы области, при которой возможен рост амплитуды $\delta ( \mu)$. Изобразите эту область на плоскости $\delta$, $\mu$. Определите уравнение этой границы. (Подсказка: зависимость $\delta (\mu)$ имеет степенной вид.)

С4. 1 Нарисована область с криволинейными границами, выгнутыми в правильную сторону (как у зависимости типа $\delta \sim \mu^2$)	0.40
С4. 2 Указано, что форма границы имеет вид $\delta \sim \mu^2$ (или другой показатель, близкий к 2).	0.20
С4. 3 Найден коэффициент для одной границы $\delta = (\omega_0/32) \mu^2$	0.20
С4. 4 Найден коэффициент для другой границы $\delta = (- 5\omega_0/32) \mu^2 $	0.20

С5  ^0.50 Пусть $\gamma = 0.2 ~\text{c}^{-1}$, $\varepsilon = 450 ~ \text{c} ^{-2}$. Нарисуйте на плоскости $\mu$, $\delta = \Omega - 2 \omega_0$ область, в которой амплитуда колебаний растет. Для $\delta = 0$ и $\mu = 0.05$ найдите амплитуду установившихся колебаний, а также время оцените время, за которое они устанавливаются.

С5. 1 Изображена область роста амплитуды	0.30
С5. 2 Амплитуда $A \approx 0.13$	0.10
С5. 3 Характерное время $t \approx 50 ~c$	0.10

D1  ^1.00 В случае $\gamma = \omega_0/ 2$ найдите минимальное значение $f_0$, при котором возможно такое движение. (Начальный угол отклонения и начальную угловую скорость маятника считайте равными нулю.)
При $f- f_0 \ll f_0$ зависимость средней угловой скорости от приложенного момента имеет вид $\langle \omega \rangle \sim (f - f_0)^\alpha$. Найдите значение постоянной $\alpha$.

D1. 1 $ f_0 = 400~\text{с}^{-2} $	0.20
D1. 2 Зависимость частоты от внешнего момента	10 × 0.03
D1. 3 Выбор координат	0.10
D1. 4 График	0.20
D1. 5 $ \alpha \approx 0 $	0.20