Logo
Logo

Нелинейные колебания

A1  0.20 Запишите уравнение колебаний бруска без учета трения и внешних сил в виде
$$
\ddot{x} + \omega_0 ^2 x + \varepsilon x^3 = 0.
$$
Укажите численные значения частоты свободных гармонических колебаний малой амплитуды $\omega_0$ и параметра нелинейности $\varepsilon$.

__
$\omega_0 = 34.64 \text{c}^{-1}$ 0.10
$
\varepsilon = 800 \text{с}^{-2}
$
0.10
A2  1.00 Снимите зависимость периода от амплитуды колебаний $T(A)$. Опишите методику (какие начальные условия и времена использовали, по каким формулам определяли период). Исследуйте диапазон амплитуд, при которых период меняется не более чем на 10%. Проведите не менее 15 измерений при различных значениях амплитуды.

__
Указаны начальные условия 0.10
Диапазон измерений (максимальная амплитуда $A > 0.3$, отношение максимальной амплитуды к минимальной $A_{max}/A_{min} >2$) 0.15
Значения периода $T(A)$ при $A < 0.8$ 15 × 0.05
A3  0.80 При достаточно малых амплитудах зависимость периода от амплитуды имеет вид
$$
T = T_0 (1 + \alpha A^n).
$$
Здесь $T_0$ — период колебаний малой амплитуды.
Определите из ваших данных параметры $\alpha$, $n$.

__
Выбор подходящих координат $\ln \frac{T_0 -T}{T_0}$ от $\ln A$ (или $T$ от $A^2$) 0.10
Оформление графика (оси, масштаб) 0.10
Точки нанесены на график 0.20
$n \in [1.9, 2]$ 0.20
$\alpha\in [-0.25, \;-0.2]$ 0.20
A4  1.50 При достаточно малой амплитуде колебаний зависимость угла от времени имеет вид
$$
x = a \cos \omega t + b \cos 3 \omega t.
$$
Исследуйте зависимость амплитуды гармоники утроенной частоты $b$ от амплитуды колебаний $A$. Исследуйте ту же область амплитуд $A < 0.5$ и определите как можно точнее значение $b$ для 5 различных амплитуд.

\textit{Примечание:} Исследуемый эффект достаточно мал. Убедитесь, что вы проводите вычисления и измерения с достаточной точностью, чтобы его качественно наблюдать. При необходимости вы можете уменьшить шаг по времени для численного решения.

__
M1 Идея линеаризации $x/\cos \omega t$ от $\cos^2 \omega t$ 0.50
M2 Указан метод определения $b$ 0.20
Точки на зависимости $x(t)$ (не более 5 для каждого значения амплитуды). 25 × 0.02
Значения $b$ (отклоняющиеся от правильного значения $(\varepsilon /32 \omega_0^2) A^3$ не более 50%) 5 × 0.10
A5  0.50 Известно, что при малых амплитудах $b = \beta A^3$. Определите по вашим данным коэффициент $\beta$.

__
Выбор координат 0.10
График или МНК 0.10
Значение
$$
\beta \in [0.01,\; 0.05]
$$
0.30
B1  1.00 Как можно точнее определите значения $\omega_0$, $\varepsilon$, $\gamma$.

__
Измерение периода 0.10
Измерение затухания колебаний 0.10
Использование постоянной силы для определения $\varepsilon$ 0.20
$\omega_0 \in [26.1,\; 26.5] \text{c}^{-1}$ 0.20
$\gamma \in [0.82,\, 0.88] \text{c}^{-1}$ 0.20
$
\varepsilon \in [340, \, 380] \text{c}^{-2}
$
0.20
B2  1.50 Выберем значение $f = 25 \text{c}^{-2}$. Постройте графики зависимости амплитуды колебаний и сдвига фаз от частоты. Для сравнения на тех же графиках постройте аналогичные теоретические зависимости без учета нелинейности.

__
Метод измерения фазы 0.10
Значения амплитуды 20 × 0.01
Значения фазы 20 × 0.03
Значения амплитуды вблизи резонанса (не менее 10 значений при частотах $25 -30 c^{-1}$) 0.10
Значения фазы вблизи резонанса (не менее 7 значений при частотах $25 -30 c^{-1}$) 0.10
График амплитуды 0.10
Теоретическая линия на графике амплитуды 0.10
График фазы 0.10
Теоретическая линия на графике фазы 0.10
B3  1.00 Выберите значение $f = 80 \text{c}^{-2}$. Постройте график зависимости амплитуды результирующих колебаний от частоты. Укажите область частот, в которой наблюдается гистерезис (то есть два значения амплитуды при одной и той же частоте).

__
Значения амплитуды в зависимости от частоты 20 × 0.02
Точки в области гистерезиса ($29 - 35 c^{-1}$) 10 × 0.02
График 0.20
Указана область гистерезиса $[30.5,\;33]c^{-1}$ 0.20
С1  1.00 Наиболее быстрый рост амплитуды колебаний наблюдается при частоте $\Omega \approx 2 \omega_0$.
Определим отклонение от резонансной частоты $\delta = \Omega - 2 \omega_0 $.
Амплитуда колебаний будет возрастать, если $\delta$ не слишком велико.
На плоскости $\delta$, $\mu$ изобразите область, где амплитуда колебаний растет.
Рассматривайте область $\mu \ll 1$, $\delta \ll \omega_0$.

__
Нарисована область, ограниченная двумя прямыми, проходящими через начало координат 0.80
Указаны части плоскости, где амплитуда возрастает 0.20
С2  0.50 Определите уравнение для границы области $\delta(\mu)$. Запишите уравнение и найдите его параметры.

__
Написано, что зависимость линейная 0.10
Найден коэффициент $\delta \approx 10 \mu$ 0.30
Указано, что область симметрична относительно замены $\mu \to - \mu$ (или найдена вторая прямая) 0.10
C3  1.50 В области параметрического резонанса зависимость амплитуды от времени имеет вид $A \sim e^{s t}$. Определите зависимость параметра $s$ от относительного изменения частоты $\mu$ и отстройки по частоте $\delta$. Используя численные данные, найдите форму зависимость $s(\mu,\, \delta)$ и определите ее параметры.

Подсказка: может быть полезным изучить зависимость $s (\mu)$ при постоянной частоте $\delta$ для нескольких значений $\delta$. При этом зависимость $s^2$ от $\mu^2$ имеет очень простой вид.

__
Измерения $s$ 25 × 0.02
Есть график $s^2 $ от $\mu^2$ или аналогичный. 0.20
Найден коэффициент линейной зависимости для $s^2 (\mu^2)$: $\omega_0^2/4 = 100 c^{-2}$ 0.20
Обоснованный вывод о том, что коэффициент линейной зависимости не зависит от $\delta$ 0.20
Свободный член $-\delta^2$ 0.20
Окончательная формула $s = \sqrt{\omega_0^2 \mu^2/4 - \delta^2}$ 0.20
С4  1.00 Амплитуда колебаний растет также и вблизи области $\Omega \approx \omega_0$, при достаточно малых $\delta = \Omega - \omega_0$. Найдите границы области, при которой возможен рост амплитуды $\delta ( \mu)$. Изобразите эту область на плоскости $\delta$, $\mu$. Определите уравнение этой границы. (Подсказка: зависимость $\delta (\mu)$ имеет степенной вид.)

__
Нарисована область с криволинейными границами, выгнутыми в правильную сторону (как у зависимости типа $\delta \sim \mu^2$) 0.40
Указано, что форма границы имеет вид $\delta \sim \mu^2$ (или другой показатель, близкий к 2). 0.20
Найден коэффициент для одной границы $\delta = (\omega_0/32) \mu^2$ 0.20
Найден коэффициент для другой границы $\delta = (- 5\omega_0/32) \mu^2 $ 0.20
С5  0.50 Пусть $\gamma = 0.2 \text{c}^{-1}$, $\varepsilon = 450 \text{c} ^{-2}$. Нарисуйте на плоскости $\mu$, $\delta = \Omega - 2 \omega_0$ область, в которой амплитуда колебаний растет. Для $\delta = 0$ и $\mu = 0.05$ найдите амплитуду установившихся колебаний, а также время оцените время, за которое они устанавливаются.

__
Изображена область роста амплитуды 0.30
Амплитуда $A \approx 0.13$ 0.10
Характерное время $t \approx 50 c$ 0.10
D1  1.00 В случае $\gamma = \omega_0/ 2$ найдите минимальное значение $f_0$, при котором возможно такое движение. (Начальный угол отклонения и начальную угловую скорость маятника считайте равными нулю.)
При $f- f_0 \ll f_0$ зависимость средней угловой скорости от приложенного момента имеет вид $\langle \omega \rangle \sim (f - f_0)^\alpha$. Найдите значение постоянной $\alpha$.

__
$
f_0 = 400 \text{с}^{-2}
$
0.20
Зависимость частоты от внешнего момента 10 × 0.03
Выбор координат 0.10
График 0.20
$
\alpha \approx 0
$
0.20