A1  ^0.20 Запишите уравнение колебаний бруска без учета трения и внешних сил в виде
$$
\ddot{x} + \omega_0 ^2 x + \varepsilon x^3 = 0.
$$
Укажите численные значения частоты свободных гармонических колебаний малой амплитуды $\omega_0$ и параметра нелинейности $\varepsilon$.

A2  ^1.00 Снимите зависимость периода от амплитуды колебаний $T(A)$. Опишите методику (какие начальные условия и времена использовали, по каким формулам определяли период). Исследуйте диапазон амплитуд, при которых период меняется не более чем на 10%. Проведите не менее 15 измерений при различных значениях амплитуды.

A3  ^0.80 При достаточно малых амплитудах зависимость периода от амплитуды имеет вид
$$
T = T_0 (1 + \alpha A^n).
$$
Здесь $T_0$ — период колебаний малой амплитуды.
Определите из ваших данных параметры $\alpha$, $n$.

A4  ^1.50 При достаточно малой амплитуде колебаний зависимость угла от времени имеет вид
$$
x = a \cos \omega t + b \cos 3 \omega t.
$$
Исследуйте зависимость амплитуды гармоники утроенной частоты $b$ от амплитуды колебаний $A$. Исследуйте ту же область амплитуд $A < 0.5$ и определите как можно точнее значение $b$ для 5 различных амплитуд.

\textit{Примечание:} Исследуемый эффект достаточно мал. Убедитесь, что вы проводите вычисления и измерения с достаточной точностью, чтобы его качественно наблюдать. При необходимости вы можете уменьшить шаг по времени для численного решения.

A5  ^0.50 Известно, что при малых амплитудах $b = \beta A^3$. Определите по вашим данным коэффициент $\beta$.

B1  ^1.00 Как можно точнее определите значения $\omega_0$, $\varepsilon$, $\gamma$.

B2  ^1.50 Выберем значение $f = 25 \text{c}^{-2}$. Постройте графики зависимости амплитуды колебаний и сдвига фаз от частоты. Для сравнения на тех же графиках постройте аналогичные теоретические зависимости без учета нелинейности.

B3  ^1.00 Выберите значение $f = 80 \text{c}^{-2}$. Постройте график зависимости амплитуды результирующих колебаний от частоты. Укажите область частот, в которой наблюдается гистерезис (то есть два значения амплитуды при одной и той же частоте).

С1  ^1.00 Наиболее быстрый рост амплитуды колебаний наблюдается при частоте $\Omega \approx 2 \omega_0$.
Определим отклонение от резонансной частоты $\delta = \Omega - 2 \omega_0 $.
Амплитуда колебаний будет возрастать, если $\delta$ не слишком велико.
На плоскости $\delta$, $\mu$ изобразите область, где амплитуда колебаний растет.
Рассматривайте область $\mu \ll 1$, $\delta \ll \omega_0$.

С2  ^0.50 Определите уравнение для границы области $\delta(\mu)$. Запишите уравнение и найдите его параметры.

C3  ^1.50 В области параметрического резонанса зависимость амплитуды от времени имеет вид $A \sim e^{s t}$. Определите зависимость параметра $s$ от относительного изменения частоты $\mu$ и отстройки по частоте $\delta$. Используя численные данные, найдите форму зависимость $s(\mu,\, \delta)$ и определите ее параметры.

Подсказка: может быть полезным изучить зависимость $s (\mu)$ при постоянной частоте $\delta$ для нескольких значений $\delta$. При этом зависимость $s^2$ от $\mu^2$ имеет очень простой вид.

С4  ^1.00 Амплитуда колебаний растет также и вблизи области $\Omega \approx \omega_0$, при достаточно малых $\delta = \Omega - \omega_0$. Найдите границы области, при которой возможен рост амплитуды $\delta ( \mu)$. Изобразите эту область на плоскости $\delta$, $\mu$. Определите уравнение этой границы. (Подсказка: зависимость $\delta (\mu)$ имеет степенной вид.)

С5  ^0.50 Пусть $\gamma = 0.2 \text{c}^{-1}$, $\varepsilon = 450 \text{c} ^{-2}$. Нарисуйте на плоскости $\mu$, $\delta = \Omega - 2 \omega_0$ область, в которой амплитуда колебаний растет. Для $\delta = 0$ и $\mu = 0.05$ найдите амплитуду установившихся колебаний, а также время оцените время, за которое они устанавливаются.

D1  ^1.00 В случае $\gamma = \omega_0/ 2$ найдите минимальное значение $f_0$, при котором возможно такое движение. (Начальный угол отклонения и начальную угловую скорость маятника считайте равными нулю.)
При $f- f_0 \ll f_0$ зависимость средней угловой скорости от приложенного момента имеет вид $\langle \omega \rangle \sim (f - f_0)^\alpha$. Найдите значение постоянной $\alpha$.