Пусть $m$ – масса каждой из досок, а $v_{1}$ – скорость системы после прекращения относительного движения досок. Запишем закон сохранения импульса:
$$
(2 m) v_{0}=(3 m) v_{1} \Rightarrow v_{1}=\frac{2}{3} v_{0} \quad (1)
$$
и закон сохранения энергии:
$$
\frac{(2 m) v_{0}^{2}}{2}=\frac{(3 m) v_{1}^{2}}{2}+Q+A_{тр}, \quad (2)
$$
где $Q$ – количество теплоты, выделившейся при неупругом ударе досок $2$ и $3$, $A_{тр}$ – работа силы трения при движении доски $1$ по доске $3$.
Так как трение между досками $1$ и $2$ отсутствует, в течение процесса неупругого удара к системе брусков $2$ и $3$ можно применить законы сохранения импульса и энергии;
$$
m v_{0}=(2 m) u \Rightarrow u=\frac{v_{0}}{2}, \quad (3)
\\
\frac{m v_{0}^{2}}{2}=\frac{(2 m) u^{2}}{2}+Q \Rightarrow Q=\frac{1}{4} m v_{0}^{2}. \quad (4)
$$
По мере того как доска $1$ надвигается на доску $3$, сила трения между этими досками возрастает по линейному закону от $0$ до $k m g$ (см. рисунок). Работа силы трения численно равна площади заштрихованной части графика, т. е.
$$
A_{тр}=\frac{1}{2} k m g l. \quad (5)
$$
Подставляя в $(2)$ выражение для $v_{1}$, $Q$ и $A_{тр}$, получим
$$
l=\frac{v_{0}^{2}}{6 k g}.
$$